“時空量子化”的關鍵：糾正數學一系列重大錯誤

         ——證明實數軸有最小、大正數點推翻百年集論

黃小寧（廣州市華南師大南區9-303  郵編510631）

【摘要】證明數軸R是由長為⊕的點連線成的，<⊕的正數ÏR。從而揭示：破解“時空量子化”難題的關鍵：須知“點無大小”是初等幾何最重大根本錯誤，導致中學有“R各點可與全部實數一一配對，且R無兩端點無最小正數點；…”等一系列重大根本錯誤——微積分與極限論存在尖銳矛盾的癥結和病態集論的病源；各相應曲線是由充分小直線段連線成的；沒空隙的y=x

 [關鍵詞]點有大小；最小正數；無窮大和最大自然數及其倒數；數軸有兩端點；推翻百年：集論、“R完備”定理、自然數公理；有空隙的數軸；有序集的元的保序

《羊城晚報》2010.4.15報道稱英國近日評選出“他們的革命性發現改變著我們的世界”的十位數學天才，康脫榜上有名，理由：其創立了具有劃時代意義的集論，從根本上改造了數學的結構，促進了數學的其他許多新的分支的建立和發展，還給邏輯學帶來了深遠影響。然而本文第3節據起碼邏輯學常識僅用23字元就推翻了百年集論。1908年著名數學和物理學家龐加萊富有遠見卓識地作出極其驚人的偉大科學預見：下一代人將把集論當作一種疾病且人們已經從中恢復過來了。注意到這是集論問世30年後的預言，故有非凡洞察力的龐大師也許曾也被集論迷惑，但經刻苦鑽研多年後終於覺悟而在一片叫好聲中遠超時代與後人地清醒堅信：凡違反真正常識的理論必是嚴重危害科學的病態理論——即使整整一代人都沒有推翻此舉世公認“真理”的迴天力。

“科學”共識：初等數學絕不會有重大根本錯誤。“反科學”的太“狂妄”發現來自於太明顯事實：①說y=x+1>x>0中的x可取所有正數即y的定義域含所有正數，就是說y可（取正數）>所有正數——初數竟一直隱含此類重大病句！②沿數軸R負向滾動的點的座標x是由大到小取值的，這樣取值的距離函式x≥0不取盡變域U的一切正數就絕不能取0即必取到無正數可取了才取0；然而有數學定理斷定此x由1→0時總與0至少相隔一正數如x/2∈U而始終不能取到無正數可取——從而更不能取0——尖銳矛盾——由數學定理竟推出數學的動點、物理的質點根本不能動！運動存在的事實決定了R必有最小正數點。另一方面因軸是連續的，故沿軸動的點x從原點o→x=1處所取陣列成的變集的元從無開始不斷增多，不經過只含1個、2個、…有窮多個元的階段就絕不可進入含無窮多個元的階段，但有數學定理斷定動點能到達的各正數點位置x都與o相隔無窮多個正數點∈R——顯然抹殺了x有序漸變的連續變化的性質。（1999.11《揚子晚報》等報曾報道稱黃乘規“成功論證了數學史上關於不可分割的連續體的猜想”。）

本文發現引起數學危機的悖論（結束只有外國人才能有此類發現的歷史）併力圖消除之，是[1]的繼續。化解“不能動”危機的關鍵是實現“空間量子化”論證數學史上關於線、面結構的著名猜想為何行之有效。產生引起常規科學危機的真正的科學悖論都是因主觀認識與客觀實際不符。人們對數學缺乏深刻認識才誤以為其“嚴密精確”，正如古人以為地球是平板狀天體一樣。

1.中學應有的變數與代數啟蒙知識——推翻“x軸各點與全部實數一一對應”定理以及百年自然數公理、“R完備”定理——定義域為R的y=2x等等的值域都≠R

設各函式的定義域、值域分別都可由D及Z代表；DЭx（讀作“D的每一元x”）表示：D的元都由x代表，x的變域是D；x、y∈B表示變數x、y所取數x、y都∈B。故x具有既是變數同時也代表D內任一定數的兩重性（前、後文聯絡來看就知此x是變數，彼x是定量）。故有代數常識：若代數式x>y的x代表任何正數則此式代表的內容之一：有數y<任何正數；…。

“任意一個”是全稱量詞，“對於Z的任一（一切）元y=x+1都有正數x<y即ZЭy>x>0”就是說有正數x<Z的一切元y，因式中y可一個不漏地遍取Z的一切數y使代表數的x必可一個不漏地遍比Z的一切y都小而代表（取）Z外數；同樣“對於任一正數x都有x>y=x-1”就是說有數y<一切正數x。同理，“書上x軸所有正數點的座標陣列成的R⁺Эx>x/2=y₁>0”明確表達定義域為R⁺的y₁=x/2的值域Z有R⁺外正數y₁<R⁺一切元x；同樣R⁺Эx<2x=y₂>0表示…。故說R⁺含一切正數就是說Z中有正數y<（>）一切正數——病句！故“R完備”定理及中學“定義域為R⁺的y₁=x/2、y₂=2x等等的值域Z都=R⁺且含一切正數，x軸各點與全部實數一一對應”是極重大錯誤。後文有嚴格證明。故中學“常識”：“對於非0自然數集（列）N一個不漏的每一數n都有對應自然數n+1>n”是病句：有自然數n+1>每一非0自然數 n。應改為“…對應正整數n+1>n”。

由上述啟蒙知識及常識“若有序數集B從大到小的一切元y都有對應x∈A<y則A必至少有一數x<B一切元y。”顯然有h事實：YЭy>x∈X一目瞭然地表達X有Y外數x<Y一切元y；同樣XЭx<y∈Y表Y有數y>X一切元x。故R⁺Эx>x/2=y∈R⁺是病句：…；…。

2.存在奇數與偶數不一樣多的是假N

數列N的所有偶數2n組成A={2n}的項都換為（2n-1，2n）就得數偶列N={（2n-1，2n）}，其奇數與偶數一樣多而可如此一一配對：（1，2）（3，4）…；N的數x都換為x+1後再增新首項1得數列N′：1，（2，3）（4，5）…中的1沒N′的偶數與之配對，除非拆散某對數——表明N′中奇數比偶數多且僅多一個（故N′是似是而非的假N！）——表明同是無窮數列的相應{2n-1}的項比A的項多。

3.起碼邏輯學常識表明存在最大自然數

設A～A表示兩A的元已一一配對：xx。起碼邏輯學常識：無窮多對“夫妻”之間互相任意“換妻”必還是可一一配對。例序列P={123...}中各“旅館房間”□與N的數已一一配對，各數之間無論如何調房都不能改變□與數雙方的一一配對性（以下簡記為：～性）。鮮明對比的是若其任一方單獨增減員就必打破此～性。例如增一□得□12...中的□就沒數與之配對了，除非拆散某對“夫妻”；此序列各數都左移一格得P′={123...}——百年假象：P′=P。殊不知因□與1配對了，原1就被拆為□，再拆散2…，再拆…，…——總保持有一對“夫妻”被挖去數而成□，故推知在無窮遠處必有一肉眼看不到的□。人有邏輯推理能力，慧眼能洞察序列所有成員的配對情況而不被因目光太短淺而無力認識與把握“無窮”的肉眼所騙，不被“拆東補西”術迷惑。又如給定的無窮序列J各項分別都佔有一空間位置“房間” □，各項之間無論如何調位都不能改變□與項雙方的～性；J的任何非首項都可改為是首項，別的任何項都可改為是項2，...，都不能改變項與項數n的～性。

    道理很簡單：無窮集C～D而不～E完全是由於C與D分別包含同樣多個元而至少比E多或少含一個元，稱D與C等容（兩集容量相等）。而改變配對的方式並沒有使各集的元有任何增減，當然就不會改變其“分別包含..”性，使雙方元的可～性與配對方式無關。例如s=（-1+1）+（-1+1）+…=0是因s中的1與-1一樣多而可一一配對，誰也不能將1與-1重新配對而使s≠0。鮮明對比的是在等號兩邊加1或（-1）就打破了1與-1一樣多的格局使s±1=0±1=±1而≠0！兩邊再+一相應項就恢復了…。這是因為只有增減項才能改變序列的項的多少，進而...。故以上形象直觀地說明3個非常重要的革命道理：

引理1：若集C～D則無論用何配對方式，C（D）各元都必可同時都有“配偶”∈D（C），正如集論常識c“若C～N則C的元都可配上非0自然數號碼記為元1，元2，...；其中C的任何元都可是元1，確定元1後，其餘元的哪一個都可是元2，…；C任一元可輪換地與N每一元配對即配對的方式與N的元一樣多。”一樣；若至少有一元不可有配偶∈對方集，就證明C～D不真。

證：讓C、D的元一一配對後再讓任一方的元互相任意對調位置並沒改變雙方元的～性。證畢。

引理2：其元已一一配對的兩無窮集的任一方單獨增（減）元后必打破雙方的～性。（新增元z不可有配偶∈對方集，因已配對的各元中若有元再與z配對，那就是搞“重婚”了；…。）據此理有

h常識：N的任何一部分都不可“住滿”P的□。

P內數n：都換為n+1得234...；或都右移一格得□12...；或都…；…——h常識表明這都是百年假象：N的一部分數可“住滿”P的□。

h定理1：存在最大自然數n。

證1：據引理1和常識c，凡～N的集的元都必可有配偶∈N，一個不漏！對G=N～N進行換偶：G各非1元n+1的配偶換為n（所有n=1，2，…組成V），1的配偶就是V外n，顯然n是最大自然數>V一切n。n+1等是超自然數。

證2：據h事實NЭn<n+1表達必有N外n₀+1（>n₀∈N）>N一切元n——顯然n₀就是n——其後繼n₀+1ÏN——推翻自然數公理和集論立論的論據：N各元n都有對應n+1、2n、…∈N。證畢。

不識n使中學將根本不是N的一部分誤為N的一部分，進而使康脫推出康健離脫的病態b論：“部分可=全部”。詳論見[2]。

注：不交且非空的集a、b的並是直和a+b=H，H-a=b。H～H中已配對的元若同時還另有配偶ÏH，那就是搞“重婚”了。

4.h定理2：任何無窮集D的任何真子集d都不可～D

證1：據引理1若D=d+f～d′=d則D各元都可有配偶∈d′且d+f中：d 各元x=x′的配偶x′∈d′=d～d，f各元的配偶x′∈d′——有x′“重婚”！故d′=d～D不真。證2：d～d，據引理2 d增元變為D=d+f不可～d——23字元推翻百年集論！（注：元為數偶（x，x）的集=元為x的集，任何非空集A各元x配對為（x，x）形成的集還是A=A∪A）證畢。

h推論：E～d與d一樣不可～D=d+f即凡～D 的真子集的集必不可～D（證法與證2一樣，先讓E 與d的元一一配對，再…）。原因是D至少比E～d多含一個元。

5.引理1讓5千年都無人能識的自然數一下子暴露出來

N={2n}+{2n-1}，n=1，2，…。據引理1和…有：

N={n}++{a_n}。上、下2等式一目瞭然地顯示上N各偶數2n（奇數2n-1）都有自然數配偶n（a_n）在其“腳下”，下N中：各a_n都是無窮大自然數>{n}的一切n，故此{n}只是N的一半——對N～N進行換偶：2nn，2n-1a_n就讓人類自識自然數5千年來一直無人能識的自然數a_n和假N一下子原形畢露！重大核心錯誤“{n}無上界∈N”等等，會使人以其為核心滾雪球似地推出錯上加錯的一系列更重大錯誤。數列N={（2n-1，2n）}中各2n由相應n取代，各2n-1由a_n取代就使集N各元可排為數偶列{（a_n，n）}。

設N=A+B={2n}+{2n-1}的元與A′=A={2n}的元2n已一一配對即有N～A′，據引理1和…，A′～A ÌN的同時A′還可有一樣多的元2n與BÌN的元2n-1一一配對——矛盾！關鍵是A={2n}～{n}中的{n}ÌN。

6.否定無窮數使“精確”的極限論是思想混亂的理論

可見存在無窮小正數1/n（n是與1相隔無窮多個n的無窮大正整數）＜任何有窮正數ε。故數學5千年來一直對數的認識存在重大缺陷與錯誤——下述思想混亂的癥結。A式：0＜正無窮小ρ=1/n＜“任意取定”的正數ε表示正實變數ρ所取各正數ρ都＜ε——極限論本身不得不間接肯定有無窮小正數<ε；“數列{1/n}從某項起以後的各正數項1/n都<ε”也明確表示..。顯然正數x＜ε的極限都是0＜ε的極限0，但同時也是正數x本身。然而“任何正數x的極限都是x而非0”暗含此意：任何正數都不能<ε,即否定有<ε的正數——構成尖銳前後自相矛盾：有總取正數的ρ<ε卻又無正數ρ＜ε。書上特意有“ρ是變數而不是數”，但至少可取兩數的ρ是變數而不可取數的“鬼魂”ρ不是變數，數與數之間才能比較大小，而非數ρ竟也>0和＜ε，且據變數定義ε也是可固定一下的變數，怎麼又說其是數？有編書者答疑：“ε不是具體的數”但常識：各字母代表的數和數集的元都是具體的數。越辯解就越是一片混亂啊！耐人尋味的是後來的編書者刻意將A式中的“0＜”隱去以配合“ρ非數”。但除了鸚鵡學舌者誰能接受“對於各數ε都有非數ρ＜ε”這一“高深、精確”的理論啊？！否定客觀存在的起關鍵作用的無窮小正數∈R⁺及其倒數猶如醫學否定前所未見的非典病毒，是致命錯誤。詳論見[3]

7.定義域為R⁺的y=x²、y=2x、…的值域≠R⁺

放大鏡將點集_——放大為——；橡皮筋（橡皮點集）拉長後各點都變長了，但各點間的前後順序關係沒變。這都是有序集的元的保序變換。

同序數概念：有序集如數軸A各數x在A內分別都有一定的大小“名次”。AЭx均保序變為y=g（x）（變數y是增函式）就得A的保序變換集B=g（A），x∈A在A中的大小名次與g（x）∈B在B中的大小名次是一樣的，稱y與x互為同序數。顯然若A=B則其各元必可由小（大）到大（小）一一對應相等，顯然有

h定理3：元為x的有序數集A保序變為B=g（A），A=B的充要條件是恆有x=g（x）（凡同序數必相等）；顯然必要條件：變換是保距變換（顯然x軸與y軸的保序變換式y=kx（k是有窮正數）中的k=1時是保距變換，兩軸若不全等就更不可重合相等）。

故x軸A各點x均保序變為點y=x得元為點y=x的y=x軸B=A，但A=R各點x均保序變為點y（x）=x/k（有窮數k>1）得元是點y=x/k的y=x/k軸就≠R了，因x與其同序數y=x/k不可恆相等；…；同理R各點x均保序保距變為點y=x+a>x（a>0）得y=x+a軸Z≠R（h事實表明RЭx<y=x+a∈Z表達Z中有數y>R一切元x，後文證明數軸有兩端點。）；…。故定義域為R或R⁺的增函式y（x）=kx（正數k≠1）等的變域必≠R或R⁺，中學將y=x軸與用而不知的y=2x軸、y=x/2軸等無窮多各根本不同的軸誤為同一軸：y=x軸。故y（x）=kx（k=有窮正數如1，1.2，1.3，…）∈R的定義域是各不相同的。

RЭx都×有窮正數k≠1變為kx得元是kx的集可記為kR。因R≠kR，…，故R²≠kR×R，…。故定義域為R的直線y（x）=kx並非R²的子集而是R×kR的子集，y的值域是kR；…。kR各元kx都改號為-kx所得集=kR，故±kR都∈kR，

8.“點無大小且不可膨脹、縮小變化”違反邏輯學常識

“R各點（數）”顯示R是點（數）集。x軸子部（0，10）各點座標x的全體組成L=（0，10）ÌR，L一小部分D=（0，1）Эx均保序變為y=10x>x>0得元為y的

L′=（0，10）（Ì10R）～DÌL=（0，10）ÌR

問題是中學重大錯誤“L=L′”是因將兩異集10R與R誤為同一集的連鎖反應。事實上①h事實表明數集L′Эy=10x>x∈L表達L有L′外數x<L′的一切數y；②據h推論，由上式的 L′～L=D+[1，10）的一小部分：D=（0，1）知L′與D一樣不可～L——誰也不能將L與L′雙方的數x與10x一一配對的原因（注：L′各數10x的對應數x的全體組成DÌL而非L）；其不對等即不等容就更談不上相等。

x軸所有正數點x全都離開原位置地沿軸正向右移至新位置x′=2x>x>0形成元為點x′的Z，x軸顯然就至少空出一正數位置x落在一切前移了的正數點的後面——形象直觀表明點x=0與點x′組成的射線是有空隙的，直觀顯示h事實“ZЭx′>x>0表達…”的正確性。

x軸子部L（0，10）的子部D（0，1）各點x都繞原點旋轉90度形成y=x軸子部D′（0，1）後再都沿y軸保序上移至點y′=10y>y>0處變為點y′才能形成比D′長的線段L′（0，10）Ìy′=10y軸。可見y=x軸A保序變為y′=10y軸B是：A的正數點y 都保序上移到y′=10y>y處變為點y′，負數點-y都保序下移到y′=-10y處。

x軸線各點分別都佔據一空間位置，挖去大部分點使軸線只剩下整數點x=n，就有許多位置空了出來；現各點n都以己為中心保形同速膨脹變大到點與點之間沒空隙而充滿線的一切空間為止，就得沒空隙的“整數軸”。其點可是□，兩點的距離是它們的中心的連線的長。y′軸若有空隙則其點都作類似的膨脹，就沒空隙了。可見A變為沒空隙的B，以及點集D′變到沒空隙的L′的幾何解釋可是：A是橡皮筋直線，其以原點為分界點向上、下兩個方向均勻拉長變換，於是點y都被拉長為點y′了；而B變為A是B以原點為收縮中心的均勻收縮，點y′都收縮變短為點y；或“放大鏡”將A（D′）放大為B（L′）。

點集A：......是由集B：……的左（右）半部分點都保序左（右）移一段距離而得。邏輯學常識s：直線段d作保序保距變換不改變d長，因沒改變點與點間的距離；鮮明對比的是沒空隙的d各點作保序增距變換就必使各點

彼此都保序拉開一段距離而形成比d長的D，D的點顯然不可充滿相應空間的一切位置（除非點都變大）而致D有許多空隙（只不過空隙的長度<一切已知正數，沒無窮小思維顯微鏡就無法察覺罷了。）。違反常識s的理論必是錯誤的。集論不成立表明數軸A兩異點a與b之間有多少個點∈A是與a_——b的長成正比的。故線段D（0，1）Ìy=x軸“拉長”為y=10x軸的子部L′（0，10），點的多少沒變就一定是點變大了或點與點之間不再“親密無間”而拉開了一段距離從而有空隙了。否則就不合邏輯了。

故數軸也有使點變長（短）的保序不保距的伸縮變換——這是“化學變化”：改變了組成線的“分子”。將“分子”不同的線混為一談就有病態b論。不明此理的初等幾何一直不識圖形在伸縮等變換中被放大、縮小、變形的原因從而對這類變換一直處於不知其所以然的唯象論階段。點有大小的嚴格證明見：

9.各實數軸都有最小正數點且R²面存在有空隙的直線

設數學內的一切正陣列成Q，計算中有認定a：Q的任何正數y，×k得ky再÷k>1必得y，就是認定y≡k（y/k）而必有對應數ky>y與y/k<y即認定y必介於2個正數之間。問題是並非所有對應數都∈Q。因由h事實“QЭy<ky∈Q”和“QЭy>y/k∈Q”分別都是病句：…；應去掉“∈Q”——表明存在用而不知的Q外的另類正數。對此，本文不作詳談。說“y=x+1>x>0中的x可取Q所有數，y可取Q外正數>Q所有數。”就消除病句了。

y>y/k>0中的k>1至少能取一數（下文表明k能取多少個數與y到0的距離有關，y距0越近，k能取的數就越少）。集K=（0，k>1）（各元∈Q）內滿足y>y/k=x∈K的數y=kx（k>1）稱為K 的凡數而有性質a：y與0之間至少有