轉載自大佬

一、先來回顧一下無重複元素的排列組合定義

排列，英文名為Permutation，是指從某元素集合中取出指定個數的元素進行排序

組合，英文名為Combination，是指從某元素集合中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序

從有n個不同元素的集合任取r個元素的排列方式有：P(n, r) = n*(n-1)*...*(n-r+1) = n! / (n-r)!,特別地 P(n,n) = n!

從有n個不同元素的集合任取r個元素的組合方式有：C(n, r) = P(n, r) / r! = n! / ( (n-r)! * r!)，特別地C(n,n) = 1

二、下面我們來定義多重集合（multiset）的排列組合

設多重集合 S = { n1 * a1, n2 * a2, ..., nk * ak },n = n1 + n2 + ... + nk, 

即集合 S 中含有n1個元素a1， n2個元素a2，...，nk個元素ak，ni被稱為元素ai的重數，k成為多重集合的類別數

在 S 中任選 r 個元素的排列稱為S的r排列，當r = n時，有公式 P(n; n1*a1, n2*a2, ..., nk*ak) = n! / (n1! * n2! * ...* nk!)//（一共n個位置,第一個位置為n種,第2個n-1種...總共n!種,然後對於ni去重）

在 S 中任選 r 個元素的組合稱為S的r組合

,//C(k+r-1,k-1)

由公式可以看出多重集合的組合只與類別數k 和選取的元素r 有關，與總數無關！

如何將問題描述轉化成多重集合問題的排列組合呢？

三、下面我們來看一些有關多重集合問題的例子

例1：線性方程 x1 + x2 + ... + xk = r 一共有多少組非負整數解？

解答：上述不定方程的非負整數解對應於下述排列

1...101...1 01...1 0 ...... 01...1

x1 個    x2 個   x3 個   ......  xk 個

其中 k-1個 0 將 r 個 1 分成k段， 每段含1的個數分別為 x1, x2, ..., xk, 

很明顯這個排列是多重集合 S = { r * 1， （k-1）* 0 }的全排列

即：P(r+k-1; r*1, (k-1)*0) = (r+k-1)! / ( r! * (k-1)! ) = C( r+k-1, r),即從k類元素中選r個的種類

//C(r+k-1,k-1) 轉化成r個小球放在k個小盒子裡,允許有空盒的問題.

例二：某車站有6個入口處，每個入口處每次只能進一個人， 一組9個人進站的方案有多少？

解答：進站方案可以表示為 

1 011 011 01 011 01 

g1  g2   g3   g4  g5   g6

其中 1 表示不同的人， 而 0 表示門框, 6-1= 5個門框將序列分為六段,

則任意進站方案可表示成上面 14 個元素 S = { 5 * 1, 1 * p1, 1 * p2, ..., 1 * p9 }的一個排列

即：P(5+9;5*1, 1*p1, 1*p2, ..., 1*p9) = 14! / ( 5! * 1! * .... 1! ) = 14! / 5!

//可以這樣來想,9個人進站,有的入口可能一個人都不經過,所以我們用擋板法將將其分給六個入口,因為可能有空的,再次轉化成9個小球,

放入6歌小盒有空盒問題,因為是個排列,在乘以A（9，9）

例三、求從（0,0）點到（m,n）點的非降路徑數

解答：無論哪條路徑，必須在x方向上走m步，y方向上走n步，將非降路徑數與多重集合 S = { m * x, n * y } 的排列建立一一對應關係，所以格路總數為 P(m+n; m*x, n*y) = (m+n)! / ( m! * n! ) = C(m+n, n) = C(m+n, m)

一般地，設c>=a, d>=b,則由(a,b)到(c,d)的非降路徑數為C(c-a+d-b, c-a)

擴充套件問題： 在上例基礎上若設m<n,求點（0,1）到點(m,n)不接觸對角線 y=x的非降路徑資料（接觸包括穿過）

解答：從（0,1）到(m,n)的非降路徑，有的接觸 y=x，有的不接觸，對於每條接觸 y=x的非降路徑，做(0,1)關於y=x的對稱點(1,0)到(m,n)的對稱非降路徑，容易看出從（0,1）到（m,n）接觸y=x的非降路徑與 （1,0）到(m,n)的非降路徑（必穿過y=x）一一對應，

故所求的非降路徑數為C(m+n-1, m) - C(m+n-1, m-1)

例四、將r個相同的小球放入n個不同的盒子，總共有多少種方案？

解答：該問題可以轉化為r個相同的小球與n-1個相同的盒壁的排列問題

1...1 0 1...1 0 1...1 0 ...... 0 1...1

其中有 n-1個 0 分成 n段,每段表示不同的盒子， 每段中1的個數表示該盒子裡放入的小球總數，總共r個1

即：P( r+n-1; r*1, (n-1)*0 ) = (r+n-1)! / ( r! * (n-1)! ) = C( r+n-1, r)

例五、求集合 X = { 1,2，..., n }的不含相鄰整數的k元子集個數

解答：任意一個X的k元子集s都可以對應於一個由0,1組成的有序n重組（a1 a2 ... an）,其中 ai = 1 當 i屬於s，否則 ai = 0，當i不屬於s，由於s中不含相鄰整數，所以在此n重組中沒有兩個1是相鄰的，所以子集s是與這樣的n重組 S = { k*1, (n-k)*0 }之間是一一對應的，由於任意兩個1彼此不相鄰，故可以把（n-k）個0依次排列，然後在（n-k+1）個空隙中插入k個1，所以從（n-k+1）個空隙中選擇k個位置來放置1，有 C(n-k+1, k) 種選法，這也是原問題所對應的答案。//插空法