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O'Stolz 定理及其應用

阿新 • • 發佈：2019-01-15

1. 基本形式

對於 ⋆∞（分母為無窮大，分子無要求），設兩數列 an,bn，滿足：

  • bn 嚴格單調遞增；
  • limn→∞bn=∞

如果有 limn→∞an+1−anbn+1−bn=L（L 為有限實數），則：

limn→∞anbn=limn→∞an+1−anbn+1−bn=L

2. 等價形式

3. 簡單應用

演算法的時間複雜度相關的分析證明中，常見的一個結論是：

limn→∞logn!nlogn=1

證明：

limn→∞logn!nlogn===limn→∞log(n+1)!−logn!(n+1)log(n+1)−nlognlimn→∞log(n+1)nlog
(1+1n)+log(n+1)limn→∞log(n+1)1+log(n+1)=1

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