假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麽 a^(p-1)≡1（mod p）

也就是a^(p-1) %p=1

據說它是歐拉定理的一種特殊情況，也就是

比較神奇，據說很出名很出名很出名

先回顧一下乘法逆元

x的最小整數解稱為a模m的逆元

如果這個m是個質數，那麽費馬小定理就派上用場嘍

這個時候x的最小整數解是

推導過程：

只可意會不可言傳的樣子。

例題是HDU4704，題意是：求1-n中，組成n的不同種數

用隔板法思考，在n個1裏面插隔板有幾種插法

結果是2^(n-1)

然後呢？就是計算它了，質數的範圍是1e6,那麽好，按題意取模

也就是求2^(n-1)%mod

費馬小定理a^b%c=a^(b%(c-1))%c

使用的前提是mod是個質數

對於任意自然數，當要求a^p%m時，就可以利用費馬小定理化簡，只需求(a^(p%(m-1)))%m(p是素數)

記住這句話，題目就很顯然了

我們將n拆成多個 a*(p-1) + k ，也就是2^n = 2^[a*(p-1) + k ] % mod = 2^k % mod

在這裏p直接等於mod，就那麽中括號的左半部分因為費馬小定理就化沒了，只剩下個k

要求的是2^(n-1)，計算出k後，減一直接快速冪即可

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 
 4 const long long MOD=1000000007;
 5 char s[1000005];
 6 long long cal(long long m)
 7 {
 8     int len=strlen(s);
 9     long long ans=0;
10     for(int i=0;i<len;i++)
11         ans=(ans*10+s[i]-‘0‘)%m;
12     return ans;
13 }
14 long long pow_mod(long long a,long long b)
15 {
16     long long ans=1;
17     while
 
(b!=0)
18     {
19         if(b&1) ans=ans*a%MOD;
20         a=a*a%MOD;
21         b>>=1;
22     }
23     return ans;
24 } 
25 int main()
26 {
27     while(scanf("%s",s)==1)
28     {
29         long long k=cal(MOD-1);
30         printf("%lld\n",pow_mod(2,k-1));
31     }
32     return 0;
33 }

費馬小定理及其應用