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luogu P3980 [NOI2008]誌願者招募

oid cas 聯系 cpp clas () long long 常數 i+1

傳送門

網絡流又一神仙套路應用

首先考慮列不等式,設\(x_i\)為第i種人的個數,記\(b_{i,j}\)為第i種人第j天是否能工作,那麽可以列出n個不等式,第j個為\(\sum_{i=1}^{m}b_{i,j}x_i\ge a_j\)

然後將這些不等式轉成等式,新開變量y,則那些不等式可以寫為\[\begin{cases}b_{1,1}x_1+b_{2,1}x_2...+b_{m,1}x_m=a_1+y_1\\b_{1,2}x_1+b_{2,2}x_2...+b_{m,2}x_m=a_2+y_2\\......\end{cases}\]

然後每個式子都減去上面的式子(假裝最後有一個\(0=0\)

的式子),然後得到\(n+1\)個等式.每個等式再移項,使得系數全為正數.我們發現每個變量分別在某個等式左邊出現一次,也在某個右邊出現一次.所以可以聯系網絡流是流入流量=流出流量的,這裏把每個等式看做一個點,左邊看做流入,右邊看做流出.對於變量\(x_i\),從流出的點向流入的點連流量為能用的最大次數(本題為Inf),費用為單個代價的邊;對於變量\(y_i\),從流出的點向流入的點連流量為能用的最大次數(本題為Inf),費用為0的邊;對於常數項\(a_i\),從原點向流入點連流量Inf費用0邊,從流出點向匯點連流量Inf費用0邊,然後費用流求費用就好了

感性理解一下?(

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define il inline
#define re register
#define db double

using namespace std;
const int N=1e4+10,M=1e5+10;
il int rd()
{
    int x=0,w=1;char ch=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
    return x*w;
}
int n,m;
int a[N],b[N][3];
int ps,pt,to[M],nt[M],c[M],hd[N],tot=1;
LL w[M];
il void add(int x,int y,int z,int zz)
{
    ++tot,to[tot]=y,nt[tot]=hd[x],c[tot]=z,w[tot]= zz,hd[x]=tot;
    ++tot,to[tot]=x,nt[tot]=hd[y],c[tot]=0,w[tot]=-zz,hd[y]=tot;
}
LL di[N],ans;
int pre[N],fw[N];
bool v[N];
queue<int> q;
il bool csfl()
{
    memset(di,0x3f3f3f,sizeof(di));
    memset(fw,0,sizeof(fw));
    di[ps]=0,fw[ps]=1<<30,v[ps]=1,q.push(ps);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=hd[x];i;i=nt[i])
        {
            int y=to[i];
            if(c[i]>0&&di[y]>di[x]+w[i])
            {
                di[y]=di[x]+w[i];
                pre[y]=i,fw[y]=min(fw[x],c[i]);
                if(!v[y]) v[y]=1,q.push(y);
            }
        }
        v[x]=0;
    }
    if(di[pt]==di[pt+1]) return 0;
    ans+=1ll*di[pt]*fw[pt];
    int x=pt;
    while(x^ps)
    {
        int i=pre[x];
        c[i]-=fw[pt],c[i^1]+=fw[pt];
        x=to[i^1];
    }
    return 1;
}

int main()
{
    n=rd(),m=rd();
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=rd();
    for(int i=1;i<=m;++i) b[i][0]=rd(),b[i][1]=rd(),b[i][2]=rd();
    ps=0,pt=n+3;
    for(int i=1;i<=m;++i) add(b[i][1]+1,b[i][0],1<<30,b[i][2]);
    for(int i=1;i<=n;++i) add(i,i+1,1<<30,0);
    for(int i=1;i<=n;++i) add(ps,i+1,a[i],0),add(i,pt,a[i],0);
    while(csfl());
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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