字串編輯距離之LevenshteinDistance

阿新 • • 發佈：2019-01-15

概述

Levenshtein Distance是一個度量兩個字元序列之間差異的字串度量標準，兩個單詞之間的Levenshtein Distance是將一個單詞轉換為另一個單詞所需的單字元編輯（插入、刪除或替換）的最小數量。Levenshtein Distance是1965年由蘇聯數學家Vladimir Levenshtein發明的。Levenshtein Distance也被稱為編輯距離（Edit Distance）。

定義

對於兩個字串 $a$ 、 $b$ ，長度分別為 $\left | a \right |$ 、 $\left | b \right |$ ，它們的Levenshtein Distance $\operatorname{lev}_{a,b}(|a|,|b|)$ 為：

$\operatorname{lev}_{a,b}(i,j)=\left\{\begin{matrix} max(j,j)& \text{if min}(i,j)=0\\ min\left\{\begin{matrix} \operatorname{lev}_{a,b}(i-1,j)+1 \\ \operatorname{lev}_{a,b}(i,j-1)+1 \\ \operatorname{lev}_{a,b}(i-1,j-1)+1_{(a_{i}\neq b_{j})} \end{matrix}\right.& \text{otherwise} \end{matrix}\right.$

其中當 $a_{i}=b_{j}$ 時， $1_{(a_{i}\neq b_{j})}$ 為0，否則為1。 $\operatorname{lev}_{a,b}(i,j)$ 就是 $a$ 的前 $i$ 個字元與 $b$ 的前 $j$ 個字元的編輯距離。

$a$ 、 $b$ 的相似度 $Sim_{a,b}$

為 $Sim_{a,b}=1-(\operatorname{lev}_{a,b}(\left | a \right |,\left | b \right |)/max(\left | a \right |,\left | b \right |))$ 。

原理

首先考慮極端情況，當 $a$ 或 $b$ 長度為0時，那麼需要編輯的次數就是裡一個字串的長度。

然後再考慮一般情況，此時分為三種情況：

在k個操作中，將a[1...i]轉換為b[1...j-1]
在k個操作中，將a[1...i-1]轉換為b[1...j]
在k個操作中，將a[1...i-1]轉換為b[1...j-1]

針對第一種情況，只需要在a[1...i]後加上字元b[j]，即可完成a[1..i]到b[1...j]的轉換，總共需要的編輯次數即為k+1。

針對第二種情況，只需要在a[i]字元從a中移除，即可完成a[1..i]到b[1...j]的轉換，總共需要的編輯次數即為k+1。

針對第三種情況，只需要將a[i]轉換為b[j]，即可完成a[1..i]到b[1...j]的轉換，如果a[i]與b[i]的字元相同，則總共需要的編輯次數為k，否則即為k+1。

所以上述三種情況分別對應於插入、刪除、替換操作。

為了保證將a[1..i]轉換為b[1..j]的運算元總是最少的，只需要從三種情況中選擇操作次數最少的情況，同理為了保證三種情況的運算元也是最小的，只需要按此邏輯進行迭代保證每一步的運算元都是最小的即可。

示例

為方便理解，以字串 $a$ ：abroad和 $b$ ：aboard為例，將求值過程中每一步的運算元放入一個i+1行j+1列的二維陣列 $d$ 中， $d[i,j]$ 即為將a[1..i]轉換為b[1...j]所需要的最少的運算元。

1.首先是極端情況，即d[0][j]、d[i][0]即a為空字串或b為空字串時，需要操作的次數即為另一字串的長度。

2.然後是一般情況，即d[i][j]的值，遍歷這個二維陣列，從第一行開始直到最後一行，由定義可知d[i][j]的值為d[i-1][j]+1、d[i][j-1]+1以及d[i-1][j-1]+1（如果a[i]==b[j]）的最小值。即根據d[i][j]所在位置的正上方（d[i-1][j]）、左方以（d[i-1][j]）及左上方（d[i-1][j-1]）的值計算出d[i][j]的值，由此得到二維陣列中所有元素的值。

3.最後的d[i][j]即為字串a轉換為b的最少運算元。

求值過程如下圖：

如圖字串 $a$ 、 $b$ 的Levenshtein Distance $\operatorname{lev}_{a,b}(6,6)$ 為2，相似度 $Sim_{a,b}$ 為：

$Sim_{a,b}=1-(\operatorname{lev}_{a,b}(6,6)/max(6,6))=0.666\cdots$

字串編輯距離之LevenshteinDistance

概述

定義

原理

示例

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