動態規劃之揹包問題原理詳細推導及其實現
貪心演算法:
(1) 給定n個物品,物品價值分別為P1,P2,…,Pn,物品重量分別W1,W2, …, Wn,揹包容量為M。每種物品可部分裝入到揹包中。輸出X1,X2,…,Xn,0<Xi<1, 使得 最大,且 <M。試設計一個演算法求解該問題,分析演算法的正確性.
解:
設計思路:首先將n個物品按單位價值從大到小排序,每次取剩餘物品中單位價值最大的物品放入揹包,若揹包的容量足夠則放入整個物品,否則放入物品的一部分。
最優子結構性質:
貪心選擇性:
綜上所述,該演算法具有貪心選擇性。
演算法的原始碼如下:
// Test.cpp : 定義控制檯應用程式的入口點。 #include "stdafx.h" #include <iostream> #include <algorithm> #define MAX_NUM 1000 using namespace std; struct Goods //info of goods定義物品資訊結構體 { int weight;// the weight of goods重量 int value;// the value of goods價值 double ValPerWei;// value per weight權重 double load; //物品裝入揹包的部分的係數(例如上圖中物品全部裝入則load為1,裝入10/20則load為0.5) }; int cmp( Goods const &a, Goods const &b)//定義sort函式的比較函式 { if(a.ValPerWei<b.ValPerWei) return 0; else return 1; } void Greedy(Goods g[],int good_num, int content)//貪心演算法 { for(int i=0; i<good_num; i++) { if(content>g[i].weight)//如果揹包足夠裝下整個物品 { content-=g[i].weight; g[i].load=1; } else if(content>0){//如果揹包不足以裝下整個物品 g[i].load=(double)content/g[i].weight;//計算物品裝入揹包的部分 content=0;//揹包容量置0 return;//程式結束,返回 } } } int main() { int goods_num; int bagvol; double total_value=0; double total_weight=0; Goods *G; cout<<"請輸入揹包的容量:"<<endl; cin>>bagvol; cout<<"請輸入商品的種類:"<<endl; cin>>goods_num; // Goods G[goods_num+1]; G= new Goods[goods_num+1]; cout<<"請輸入商品的重量和價值:"<<endl; for(int i=0; i<goods_num; i++) { cin>>G[i].weight>>G[i].value;//輸入重量價值 G[i].ValPerWei=(double)G[i].value/G[i].weight;//計算權重 G[i].load=0;//load置0 } sort (G,G+goods_num,cmp);//sort by ValPerWei Greedy(G,goods_num,bagvol); for(int i=0;i<goods_num;i++)//output the info of goods { if(G[i].load==0.0)break;//如果檢測到物品未被裝入揹包,則推出迴圈 total_value+=(G[i].value*G[i].load);//裝入揹包的物品總價值 total_weight+=(G[i].weight*G[i].load);//裝入揹包的物品總重量 } cout<<"揹包容量為: "<<bagvol<<endl;//輸出揹包容量 cout<<"裝入物品的總重量為: "<<total_weight<<endl;//輸出裝入物品的總重量 cout<<"裝入物品的最大價值為: "<<total_value<<endl;//輸出裝入物品的總價值 return 0; }
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