在分析各種演算法時，經常看到O(log2n)O(log2⁡n)或O(nlog2n)O(nlog2⁡n)這樣的漸進複雜度。不知有沒有同學困惑過，為什麼演算法的漸進複雜度中的對數都是以2為底？為什麼沒有見過O(nlog3n)O(nlog3⁡n)這樣的漸進複雜度？本文解釋這個問題。

三分式歸併排序的時間複雜度

先看一個小例子。

大多數人應該對歸併排序（merge sort）很熟悉，它的漸進複雜度為O(nlog2n)O(nlog2⁡n)。那麼如果我們將歸併排序改為均分成三份而不是兩份，其演算法時間複雜度是否有變化呢？

遞迴分析

下面通過遞迴分析對三分式歸併排序的時間複雜度進行分析。因為不管是三分還是二分，對於總共n個數據來說，一遍合併的複雜度為O

T(n)=3T(n/3)+O(n)T(n)=3T(n/3)+O(n)

如果把這個遞迴式的遞迴樹畫出來，很容易得到T(n)=O(nlog3n)T(n)=O(nlog3⁡n)。如下圖所示：

對數的陷阱

那麼這是否意味著三分式歸併排序在時間複雜度上要優於二分式的歸併排序呢？因為直覺上nlog3nnlog3⁡n比nlog2nnlog2⁡n要優一些。

實際上三分式歸併排序的時間複雜度確實是T(n)=O(nlog3n)T(n)=O(nlog3⁡n)，而且同時也是T(n)=O(nlog2n)T(n)=O(nlog2⁡n)。

這看起來似乎是矛盾的，n

logab=logcblogcaloga⁡b=logc⁡blogc⁡a

其中a和c均大於0且不等於1。

根據換底公式可以得出：

log3n=log2nlog23log3⁡n=log2⁡nlog2⁡3

所以nlog3nnlog3⁡n比nlog2nnlog2⁡n只差一個常係數1log231log2⁡3。因此，從漸進時間複雜度看，三分式歸併並不比二分式歸併更優，當然還是有個常係數的差別的。

更一般的：

logan=log2nlog2aloga⁡n=log2⁡nlog2⁡a

因此對於大於1的a來說，都與O(log2n)O(log2⁡n)差一個常係數而已，因此為了簡便，一般都用O(log2n)O(log2⁡n)表示對數的漸進複雜度，這就解決了本文初始的疑問。當然，以任何大於1的a為底數都是沒有問題的。

from: http://blog.codinglabs.org/articles/why-logarithm-base-of-asymptotic-time-complexity-always-two.html