一、摘要

　　前面一篇文章介紹了通過FDATool工具箱實現濾波器的設計，見“”，這裡通過幾個例子說明採用Matlab語言設計FIR濾波器的過程。

二、實驗平臺

　　Matlab7.1

三、實驗原理

　　以低通濾波器為例，其常用的設計指標有：

1. 通帶邊緣頻率f_p(數字頻率為Ω_p)
2. 阻帶邊緣頻率f_st (數字頻率為Ω_st)
3. 通帶內最大紋波衰減δ_p=-20log₁₀(1-α_p)，單位為 dB
4. 阻帶最小衰減α_s=-20log₁₀(α_s)，單位為 dB
5. 阻帶起伏α_s
6. 通帶峰值起伏α_p

　　其中，以1、2、3、4條最為常用。5、6條在程式中估算濾波器階數等引數時會用到。

　　數字頻率 = 模擬頻率/取樣頻率

四、例項分析

例1  用凱塞窗設計一FIR低通濾波器，通帶邊界頻率Ωp=0.3pi，阻帶邊界頻率 Ω_s

=0.5pi，阻帶衰減δ_s不小於50dB。

方法一：手動計算濾波器階數N和β值，之後在通過程式設計出濾波器。

第一步：通過過渡頻寬度和阻帶衰減，計算濾波器的階數B和β值。

第二步：通過程式設計濾波器。

程式如下：

b = fir1(29,0.4,kaiser(30,4.55));

[h1,w1]=freqz(b,1);  

plot(w1/pi,20*log10(abs(h1))); 

axis([0,1,-80,10]); 

grid;

xlabel('歸一化頻率/p') ;

ylabel('幅度/dB') ;

波形如下：

方法二：

採用[n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(f,a,dev)函式來估計濾波器階數等，得到凱塞窗濾波器。

　　這裡的函式kaiserord(f,a,dev)或者kaiserord(f,a,dev,f_s)：

　　f為對應的頻率，f_s為取樣頻率；當f用數字頻率表示時，f_s則不需要寫。

　　a=[1 0]為由f指定的各個頻帶上的幅值向量，一般只有0和1表示；a和f長度關係為（2*a的長度）- 2=（f的長度）

　　devs=[0.05 10^(-2.5)]用於指定各個頻帶輸出濾波器的頻率響應與其期望幅值之間的最大輸出誤差或偏差，長度與a相等，計算公式：

阻帶衰減誤差=α_s，通帶衰減誤差=α_p，可有濾波器指標中的3、4條得到。

　　f_s預設為2Hz。

程式如下：

fcuts = [0.3  0.5]; %歸一化頻率omega/pi，這裡指通帶截止頻率、阻帶起始頻率

mags = [1 0];

devs = [0.05 10^(-2.5)];

[n,Wn,beta,ftype] = kaiserord(fcuts,mags,devs);  %計算出凱塞窗N，beta的值

hh = fir1(n,Wn,ftype,kaiser(n+1,beta),'noscale'); 

freqz(hh);

波形如下：

　　實際中，一般呼叫MATLAB訊號處理工具箱函式remezord來計算等波紋濾波器階數N和加權函式W(ω)，呼叫函式remez可進行等波紋濾波器的設計，直接求出濾波器係數。函式remezord中的陣列fedge為通帶和阻帶邊界頻率，陣列mval是兩個邊界處的幅值，而陣列dev是通帶和阻帶的波動，fs是取樣頻率單位為Hz。

例2  利用雷米茲交替演算法設計等波紋濾波器，設計一個線性相位低通FIR數字濾波器，其指標為：通帶邊界頻率fc=800Hz，阻帶邊界fr=1000Hz，通帶波動 阻帶最小衰減At=40dB，取樣頻率fs=4000Hz。 

解：在MATLAB中可以用remezord 和remez兩個函式設計

程式如下： 

fedge=[800 1000]; 

mval=[1 0]; 

dev=[0.0559 0.01];

fs=4000; 

[N,fpts,mag,wt]=remezord(fedge,mval,dev,fs); 

b=remez(N,fpts,mag,wt); 

[h,w]=freqz(b,1,256); 

plot(w*2000/pi,20*log10(abs(h))); 

grid; 

xlabel('頻率/Hz') ;

ylabel('幅度/dB');

波形如下：

例3 利用MATLAB程式設計設計一個數字帶通濾波器，指標要求如下：通帶邊緣頻率：Ω_p1=0.45pi，Ω_p2=0.65pi，通帶峰值起伏：δ₁<=1[dB]。阻帶邊緣頻率：Ω_s1=0.3pi，Ω_s2=0.8pi，最小阻帶衰減：δ₂>=40[dB] 。

方法一：窗函式法

程式如下：

[n,wn,bta,ftype]=kaiserord([0.3 0.45 0.65 0.8],[0 1 0],[0.01 0.1087 0.01]);%用kaiserord函式估計出濾波器階數n和beta引數

h1=fir1(n,wn,ftype,kaiser(n+1,bta),'noscale');

[hh1,w1]=freqz(h1,1,256);

figure(1)

subplot(2,1,1)

plot(w1/pi,20*log10(abs(hh1)))

grid

xlabel('歸一化頻率w');ylabel('幅度/db');

subplot(2,1,2)

plot(w1/pi,angle(hh1))

grid

xlabel('歸一化頻率w');ylabel('相位/rad');

波形如下：

濾波器係數為：

h1 =

  Columns 1 through 8 

    0.0041    0.0055   -0.0091   -0.0018   -0.0056   -0.0000    0.0391   -0.0152

  Columns 9 through 16 

   -0.0381    0.0077   -0.0293    0.0940    0.0907   -0.2630   -0.0517    0.3500

  Columns 17 through 24 

   -0.0517   -0.2630    0.0907    0.0940   -0.0293    0.0077   -0.0381   -0.0152

  Columns 25 through 31 

    0.0391   -0.0000   -0.0056   -0.0018   -0.0091    0.0055    0.0041

如果直接用freqz(h1,1,256)，得幅頻特性和相頻特性曲線：

方法二：等波紋法設計

程式如下：

[n,fpts,mag,wt]=remezord([0.3 0.45 0.65 0.8],[0 1 0],[0.01 0.1087 0.01]);%用remezord函式估算出remez函式要用到的階n、歸一化頻帶邊緣向量fpts、頻帶內幅值響應向量mag及加權向量w，使remez函式設計出的濾波器滿足f、a及dev指定的效能要求。
h2=remez(n,fpts,mag,wt);%設計出等波紋濾波器
[hh2,w2]=freqz(h2,1,256);
figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(w2/pi,20*log10(abs(hh2)))
grid
xlabel('歸一化頻率w');ylabel('幅度/db');
subplot(2,1,2)
plot(w2/pi,angle(hh2))
grid
xlabel('歸一化頻率w');ylabel('相位/rad');
h2

波形如下：

濾波器係數如下：

h2 =

  Columns 1 through 9 

   -0.0013    0.0092   -0.0255   -0.0642    0.1177    0.0922   -0.2466   -0.0466    0.3116

  Columns 10 through 17 

   -0.0466   -0.2466    0.0922    0.1177   -0.0642   -0.0255    0.0092   -0.0013

如果直接用freqz(h2,1,256);得幅頻特性和相頻特性曲線：

方法三：採用FDATool工具

 這種方法需要事先計算出濾波器的階數，bate值，然後設定相應引數，最後生成濾波器。

 設定介面如下圖所示：

 　　將上述圈圈的區域設定好之後，生成濾波器，最後通過analysis選單可以觀察生成的濾波器的各種特性曲線和濾波器係數。這裡的濾波器係數跟方法一的一樣。

波形如下：

五、結果分析

5.1  濾波器設計總結

　　FIR濾波器實現一般採用窗函式法和等紋波設計法。窗函式法還包含兩個分支，一種是用公式先手動算出N值和其他對應得窗函式引數值，再代入窗函式和fir1實現，一種是用函式*rord估算出N和相應引數再用fir1實現。不過要注意*rord會低估或高估階次n，可能會使濾波器達不到指定的效能，這時應稍微增加或降低階次。如果截止頻率在0或Nyquist頻率附近，或者設定的dev值較大，則得不到正確結果。

　　濾波器實現形式及特點：由於一般的濾波器在利用窗函式是其通帶波紋和阻帶波紋不同（一般為第一個阻帶波紋最大）因此，在滿足第一個阻帶衰減旁瓣時，比其頻率高的旁瓣，它們的衰減都大大超出要求。而根據阻帶衰減與項數的近似關係N = P(δ₂)*f_s/TW，可得當阻帶衰減越大，所需項數越多。

5.2  窗函式法和等波紋設計的不同之處

　　窗函式設計是通過最小平方積分辦法來設計的，即該濾波器的誤差為：

　　即要求最小方法來設計濾波器，這樣的濾波器更忠實於理想濾波器（即濾波係數更接近於理想濾波器）。

證明如下：

因此，幅度頻譜差值越小，實際濾波器就越接近理想濾波器。

　　而等波紋濾波器是通過最大加權誤差最小化來實現，其誤差為：

要求該誤差最小來實現濾波器，得出來的濾波係數較窗函式設計相差較遠。

以下通過對例3中的h1及h2作比較。

%sigsum是用來對陣列各元素進行求和

function y=sigsum(n1,n2,n,x);

y=0; 

for i=n1+1-min(n):n2+1-min(n)

    y=y+x(i);

end

n=0.001:30.001;

h=2*cos(0.55*pi*(n-15)).*sin(0.175*pi*(n-15))./(pi*(n-15));

delta1=h-h1;

n=0.001:16.001;

h=2*cos(0.55*pi*(n-15)).*sin(0.175*pi*(n-15))./(pi*(n-15));

delta2=h-h2;

y1=sigsum(0,30,[0:30],(abs(delta1).^2))/31;

y2=sigsum(0,16,[0:16],(abs(delta2).^2))/17;

 結果如下：

y1 =

  1.9099e-004

y2 =

    0.0278

　　由此得到用窗函式實現的濾波係數比用等波紋濾波器係數的每一項更接近於理想濾波器（y1為用窗函式實現的與理想濾波器的差值，y2為用等波紋濾波器實現的與理想濾波器的差值）；

　　對比二者的幅度頻譜可知，等波紋濾波器阻帶邊緣比用窗函式實現的更平滑（理想濾波器為垂直下降的）。

　　從設計的角度考慮，由於窗函式設計法都是通過已有的窗函式對理想濾波器的改造，因此，可以用手算的辦法方便的設計濾波器。

而等波紋濾波器，其實現是通過大量的迭代運算來實現，這樣的方法一般只能通過軟體來設計。

　　項數的問題由於等波紋濾波器能較平均的分佈誤差，因此對於相同的阻帶衰減，其所需的濾波係數比窗函式的要少。

5.3 幾點說明

1.相頻特性曲線形狀不同說明

　　上面第一個圖是用角度為單位畫出來的，下面的圖是用rad單位畫出來的。從圖形可以觀察到在0.3到0.8數字頻率間兩個圖都是嚴格的線性相位，至於下面的圖為什麼在這個區間會有跳變是因為rad的區間只有-pi——pi，當相位由-pi繼續增加時只能跳到pi而不能大於pi，而角度表示則可以連續增大。

2.呼叫firl或者reme函式時，用scale（預設方式）對濾波器進行歸一化，即濾波器通帶中心頻率處的響應幅值為0db。用noscale不對濾波器歸一化。