假設有連通圖的每一個節點都是偶度數，卻沒有歐拉回路。選擇其中邊數最小的一個。顯然G的頂點數大於1，否則只有一個偶度數頂點的圖顯然是有歐拉回路的。

       我們先證明G一定有最少一個迴路。假如v是G中一個固定的頂點，則由於G是連通的而且有多於一個的頂點，所以一定有一條邊在v與其它頂點之間。這是長度為1的簡單路徑。因此簡單路徑存在。令π₀是G中一條儘可能長的簡單路徑，其頂點佇列為：v_{1 ,}v₂,v_s.既然v_s 有偶度數且只在其中出現一次，我們可以利用其其他邊來構造一條比π₀長的路徑，這與π₀最長矛盾。所以命題得證。

       既然G必有環，選擇G中最長的環。既然其沒有歐拉回路，所以π沒有通過所有頂點。將G中 刪掉所有π中的邊（不刪頂點），得到的圖記為G₁

。然後π是一個迴路，刪掉π的邊之後會讓每個頂點度數仍然為偶數。選擇G₁中最大的連通部分記作G₂。因為G₂有比G更少的邊，所以（因為G被選擇的方式），G₂一定會有歐拉回路π¹。（書中原文為尤拉道路應該有誤不然下一段中和π連線不一定構造得出一個迴路，應為歐拉回路。因為如果G₂沒有歐拉回路則G₂是邊數最少的，頂點都是偶度數卻沒有歐拉回路的連通圖，但是G₂比G變數少，則G不是邊數最少的，所以題設出錯，不合題意。）

如果π¹通過G中所有的頂點，則π和π¹當然有相同的邊。不然的話，G中一定會有一條邊e連線π和π¹中的頂點分別記為v，v₁。否則的話，我們不能連線π中的頂點與G中不在π中的點即G不連通。既然e不在π¹

中，他一定是在G₁生成時被刪除，所以在π裡。然後v₁也在π的頂點佇列中。所以在任何情況下π和π¹都有一個相同的頂點v₁。所以我們可以通過用v₁連線π和π¹構造一個迴路比π長。

參考《Discrete Mathematical Structures》高等教育出版社