當n個編號元素以某種順序進棧，並可在任意時刻出棧，所獲得的編號元素排列的數目N恰好滿足Catalan函式的計算，即N=C(2n,n)/(n+1)。

卡特蘭數又稱卡塔蘭數，是組合數學中一個常出現在各種計數問題中的數列。以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)的名字來命名。

卡特蘭數的前幾項：1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862…

卡特蘭數原理：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另類遞推式：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

遞推關係的解為：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

遞推關係的另類解為：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

卡特蘭數應用之出棧次序：

問題：一個棧的進棧序列為1,2,3，…，n。有多少個不同的出棧序列？

分析：設f(n) = 序列個數為n的出棧序列種數。設最後出棧的元素為k。即在k進棧之前，元素1,2,…，k-1已經出棧，出棧序列數為f(k-1)。在k進棧後，元素k+1,k+2,…，n已經進棧後全部出棧。所以元素k+1,k+2,…,n出棧序列種數為f(n-k)。由於比k小和比k大的值入棧出棧情況是相互獨立的，此處可用乘法原則，f(n-k)*f(k-1)種，求和便是Catalan遞迴式。

解決：f(n) = f(n-k)*f(k-1),其中k=1,2,3,…,n  所以f(n) = h(n)= C(2n,n)/(n+1) = c(2n,n)-c(2n,n+1)（n=0,1,2,3,…,n）