線性代數學習筆記(代數版)
Orz yanQval
內容主要來自半年前洛谷的冬令營,因為版權原因課件就不放了。
本來是不想學來著,但是過幾天出去學習要講這個,怕被虐的太慘就先預習一下吧
然而課件裡面的題目基本都是CTSC難度的而且找不到提交地址qwq。
矩陣
\(A_{nm}\)表示一個\(n\)行\(m\)列的矩陣。
一個\(1\)行\(n\)列的矩陣可以被稱為行向量
一個\(n\)行\(1\)列的矩陣可以被稱為列向量
一個\(n\)行\(n\)列的矩陣可以被稱為\(n\)階方陣\(A_n\)
\(A^T\)表示矩陣的轉置,即\(a_{ij}^{T} = a_{ji}\),相當於把矩陣沿主對角線翻轉
除了主對角線上的元素全部為\(0\)
主對角線以下全部為\(0\)的方陣是上三角矩陣
單位矩陣是主對角線全為\(1\)的對角矩陣,一般用\(I/E\)表示
逆矩陣
矩陣\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\),是滿足\(AA^{-1} = A^{-1}A = I\)的矩陣
求逆矩陣的方法:
將原矩陣的右邊放一個單位矩陣,並對整體進行消元,當左邊被消成單位矩陣時,右側就被消成了逆矩陣。如果中途失敗則說明矩陣不可逆
其實還好理解,消元過程中使用的矩陣初等行變換實際上是左乘一個矩陣,他們的乘積就是逆矩陣,因此我們需要在右側來構造一個矩陣來收集乘積的結果。
行列式
定義
一個方陣的行列式表示為\(|A|\)
\[|A| = \sum_{p}(-1)^{\sigma(p)} \prod_{i = 1}^n a_{i, p_i}\]
其中\(p\)表示任意一個\(1\)到\(n\)的排列
\(\sigma(p)\)表示\(p\)的逆序對的數量
比如當\(n = 2\)時,
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{12} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]
解釋一下
當\(p = 1,2\)時,逆序對為\(0\)個,\(p_1 = 1, p_2 = 2\),因此\((-1)^0 *(a_{1_{p_1}})*(a_{2_{p_2}}) = a_{11} * a_{22}\)
當\(p = 2,1\)時,逆序對為\(1\)
因此\(|A| = a_{11}{22} - a_{12}a_{21}\)
性質
- 一個對角矩陣/上三角矩陣的行列式值是所有對角線上元素的乘積
證明:
大概感性的理解一下吧,考慮行列式的定義中,我們需要列舉\(a_{i{p_i}}\),那麼當\(i = n\)(也就是最後一行),我們只有一種取值(\(p_n = n\))不為\(0\),
當\(i = n - 1\)時,雖然有兩種取值,但是最後一行已經去了一種,因此還是隻有一種取值,以此類推。每一行都只有一種取值
因此答案為對角線元素的乘積
- 交換矩陣的兩行/兩列,行列值取反
證明:
性質:對於一個排列,交換任意兩個元素,排序的奇偶性一定改變
我們交換了兩行/兩列,實際上是交換了\(p_i, p_j\),因此奇偶性一定改變。
將矩陣的一行/一列乘上一個固定的常數\(k\),行列式值也乘上\(k\)
將矩陣的一行加到另外一行上去,行列式值不變,列同理
證明:
想要直接證明比較困難,我們先證幾個性質
存在兩行一樣的矩陣,行列式值為\(0\)
證明:考慮,如果第\(x\)行和第\(y\)行相同,那麼交換排列中的\(p_x, p_y\),\(\prod a_{i, p_i}\)不變,而前面的符號相反。所以行列式的每一項都存在一項和它的絕對值相同,符號相反
假設矩陣第\(x\)行,第\(i\)列的元素為\(a_{i}\),且滿足\(a_i = b_i + c_i\),那麼我們一定可以構造兩個矩陣\(B,C\),使得\(|A| = |B| + |C|\)
有了這兩個性質,再重新考慮我們需要證明的東西
一個行\(a\)加到另一行\(b\)上面,我們會得到一行\(c = a+b\)
我們可以把\(c\)拆開來看,其中的\(b\)已經出現過,因此它對答案的貢獻為\(0\)
所以行列值的值不變
- 矩陣可逆的充要條件是行列式不為\(0\)
證明:
行列式為\(0\),說明消元過程中出現了\(a_{i, j} = 0\)
有了這些性質,我們就可以用高斯消元在\(O(n^3)\)的時間複雜度內求出矩陣行列式的值
伴隨矩陣
餘子式:
將方陣的第\(i\)行和第\(j\)行同時劃去,剩餘的一個\(n - 1\)階的矩陣的行列式值稱為元素\(a_{ij}\)的餘子式,通常記為\(M_{ij}\)
代數餘子式:
元素\(a_{ij}\)的代數餘子式為\(C_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}\)
拉普拉斯展開
對於一個方陣\(A\),\(A\)的行列式等於某一行所有元素的值乘上他們代數餘子式 的和
即:\(|A| = \sum_{i = 1}^n a_{xi} C_{xi}\),\(x\)是一個確定的行座標,列同理
伴隨矩陣
矩陣\(A\)的代數餘子式矩陣是有每個元素的代數餘子式構成的矩陣
矩陣\(A\)的伴隨矩陣\(A*\),是\(A\)的代數餘子式矩陣的轉置,即\(A* = C^T\)
對於可逆矩陣,滿足
\(A* = |A|A^{-1}\)
其他的一些定義
線性空間
線性空間:一個非空集合\(V\),對加法滿足阿貝爾群,對數乘滿足結合律,分配律,封閉性,域\(F\)上的單位元\(1\)滿足\(1v = v\)
子空間:設\(W\)是\(V\)的一個子集,\(W\)在加法和數乘下都是封閉的,且\(0 \in W\),則\(W\)是\(V\)的子空間
生成子空間(擴張):對於若干\(V\)中的元素\(v\),包含這些\(v\)的最小的子空間
\(W\)是這些元素的生成子空間
生成集合:對於一個\(V\)的子集\(v\),如果\(v\)的生成子空間是\(V\),則稱\(v\)是\(V\)的一個生成集合
線性相關
對於一個線性空間的一個子集\(v_1, v_2, \dots , v_k\),如果\(x_1v1 + x_2v_2 + \dots x_kv_k = 0\)存在非平凡解,則稱這個子集線性相關,否則線性無關。這個條件等價於:任何一個元素都可以被其他元素線性表出
對於向量空間\(V\)的一個線性無關子集\(v\),如果\(v\)的生成子空間是\(V\),則稱\(v\)是\(V\)的一組基,\(|v|\)是\(V\)的維度,同時\(v\)也是\(V\)的最小生成集合,同時也是極大線性無關組
對於一個矩陣\(A\),把它的每一行看做一個行向量,那麼它的極大線性無關組大小稱為\(A\)的行秩,同理也可以定義\(A\)的列秩。顯然,一個矩陣的行秩和列秩是相等的,如果一個矩陣的秩等於它的階,那麼這個矩陣滿秩
同樣,一個矩陣可逆的條件等於矩陣滿秩。
反證法:如果矩陣不滿秩,則消到最後一行時,一定可以被之間的線性表出
相關推薦
線性代數學習筆記(代數版)
Orz yanQval 內容主要來自半年前洛谷的冬令營,因為版權原因課件就不放了。 本來是不想學來著,但是過幾天出去學習要講這個,怕被虐的太慘就先預習一下吧 然而課件裡面的題目基本都是CTSC難度的而且找不到提交地址qwq。 矩陣 \(A_{nm}\)表示一個\(n\)行\(m\)列的矩陣。 一個\(1\)行
線性代數學習筆記(幾何版)
本部落格僅用來記錄重要概念。 線性代數學習請移步https://www.bilibili.com/video/av6731067 不得不說,這位up主講的是真心好,尤其是點積叉積那一部分,直接重新整理世界觀QWQ。 基 空間內的一組基指的是:張成該空間的一個線性無關向量的集合 張成 所
【學習筆記】線性代數學習筆記
n階行列式 相關性 等於 線性代數 筆記 class ... 學習 一行 慢慢的學吧……先挖個坑提醒自己好好填【霧】 一、行列式相關 n階行列式定義:Σ(-1)t a1p1*a2p2*....anpn(p∈(1~n的全排列),t為此排列中的逆序對個數) 相關性質: 1.
線性代數學習筆記二
www. groov -html per mis haskell con times aps 線性代數學習筆記二 線性代數學習筆記二 目录 1. 線性方程組 1 線性方程組 矩陣記號是為解
MIT 線性代數 學習筆記&思維導圖
最近在看花書(深度學習),看到第一章的關於線性代數的知識,雖然自己在大一的時候就學過線性代數,但是回想起來對線性代數的掌握僅限於皮毛,缺乏系統地掌握。所以花一個星期的時間系統地複習了一下,僅限於理論層面。 誠推Xmind這個做思維導圖的軟體。實現了很多我以前想實現的東西。 接下來有時
【原創】線性代數學習筆記——劍橋食譜
最近學習了《麻省理工公開課:線性代數》,首先向吉爾伯特-斯特林老師致以深深的敬意,他的課程使我對整個線性代數有了全新的認識。本著打鐵要趁熱的精神,我又抓緊時間開啃華章數學譯從的《線性代數及其應用》和《矩陣分析》,現在的感覺就是像廣告上說的那樣:So easy! 在《線性代數
線性代數學習筆記3
第五集 向量空間 我們可以對向量進行所謂“線性運算”,即通過加和(v+w)與數乘運算(3v)得到向量的線性組合。向量空間對線性運算封閉,即空間內向量進行線性運算得到的向量仍在空間之內。 包含於向量空間之內的一個向量空間稱為原向量空間的一個子空間。 R2
線性代數學習筆記(三)
A的列空間:column space 設Ax=b,以column picture視角看,每一個x,都是A的列的一種線性組合,每種組合均構成一個b。取遍x 得到的所有的b 構成了A的column space A的零空間:nullspace 設Ax=0,所有的解x 構成
Git學習筆記精簡版
Git學習筆記-廖雪峰教程學習@[三川水祭] 僅作學習交流使用,將來的你會感謝現在拼命努力的自己!!! 它是什麼 Git是分散式版本控制系統,那麼什麼是分散式的版本控制系統呢,可以這樣理解:每個人在本地電腦上都有一個將要編輯的版本庫,包含從初始到當前的程式碼的各個版本,如何進行協作呢
線性基學習筆記
pre 貢獻 mes 通過 fin git while line for 線性基是幹嘛的呢? 給定n個數,求所有數的異或和最大是多少? 求解這類問題的時候,就需要線性基了 個人感覺線性基本身就一種貪心。 首先定義\(base[i]\)表示最高位1在i位的數是什麽 對於新進來
深度學習BiGan學習筆記,keras版
對抗生成網路Gan變體集合 keras版本 bigan(Bidirectional GAN 雙向Gan) http://link.zhihu.com/?target=https://arxiv.org/abs/1605.09782 具有生成器G,編碼器encoder,判別器D 作用: 1
線性基 學習筆記
1 #include <cstdio> 2 #include <iostream> 3 #include <queue> 4 #include <algorithm> 5 #include <cstring> 6 #
unity3d學習筆記——老版動畫系統的使用
新的動畫系統mechanim相對老版的動畫系統,功能強大了不少,但是消耗也不小——需要計算的東西就更多了,所以學習新的動畫系統的同時,掌握並使用老版動畫系統也是很必要的,雖然老版動畫系統相對簡單得多,但是筆記還是很必要的(畢竟我瞬間就能夠忘記)。(使用unity
grpc學習筆記--Java版
這幾天由於工作的原因,涉及到系統之間的通訊,rpc呼叫方式不失為內部系統之間的一種高效簡單的方式,至於rpc是什麼,這裡不多說,自行Google去。 在比較了Thrift(Apache開源專案)和grpc(谷歌去年開源的一個專案)後,選擇了grpc,這裡不想多
Oracle學習筆記簡版
一、Oracle簡介 二、Oracle安裝與配置 OracleOraDb11g_home1TNSListener:監聽服務,如果要通過程式或者是不同的客戶端連線Oracle資料庫的時候,此服務必須啟動,否則無法連線。 OracleServiceMLDN
【C++】學習筆記草稿版系列11(運算子過載)
運算子過載和友元之間是如何發生關係的 友元過載,成員過載 單目和雙目運算子可以過載 通常情況下: 雙目運算子過載為成員的話需要一個引數,過載為友元的話需要兩個引數 const Comple
Netty學習筆記-入門版
[TOC] # Netty學習筆記 ## 前言 本文簡單介紹下netty的基本原理,I/O模型,Reactor執行緒模型以及架構設計等相關知識點。 ## 什麼是Netty Netty是由JBOSS提供的一個Java開源框架。Netty提供`非同步的、事件驅動的網路應用程式框架和工具`,用以快速開發高
基於sklearn的波士頓房價預測_線性迴歸學習筆記
> 以下內容是我在學習https://blog.csdn.net/mingxiaod/article/details/85938251 教程時遇到不懂的問題自己查詢並理解的筆記,由於sklearn版本更迭改動了原作者的程式碼,如有理解偏差歡迎指正。 1. np.linspace np.l
學習筆記TF062:TensorFlow線性代數編譯框架XLA
per acc tmp form 緩沖區 適合 correct raw prot XLA(Accelerated Linear Algebra),線性代數領域專用編譯器(demain-specific compiler),優化TensorFlow計算。即時(just-in-
MIT線性代數公開課學習筆記第16~20課
ots 正交 其中 圖片 線性 現在 出現 正交化 play 十六、投影矩陣和最小二乘 給出\(n\)組\(m-1\)個自變量的數據點(用\(n\times m\)大小的矩陣\(A\)表示,其中第一列均為1,代表常數項),以及它們的真實取值(用n維列向量\(b\)表示),現