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線性代數學習筆記(代數版)

Orz yanQval

內容主要來自半年前洛谷的冬令營,因為版權原因課件就不放了。

本來是不想學來著,但是過幾天出去學習要講這個,怕被虐的太慘就先預習一下吧

然而課件裡面的題目基本都是CTSC難度的而且找不到提交地址qwq。

矩陣

\(A_{nm}\)表示一個\(n\)\(m\)列的矩陣。

一個\(1\)\(n\)列的矩陣可以被稱為行向量

一個\(n\)\(1\)列的矩陣可以被稱為列向量

一個\(n\)\(n\)列的矩陣可以被稱為\(n\)階方陣\(A_n\)

\(A^T\)表示矩陣的轉置,即\(a_{ij}^{T} = a_{ji}\),相當於把矩陣沿主對角線翻轉

除了主對角線上的元素全部為\(0\)

的矩陣為對角矩陣

主對角線以下全部為\(0\)的方陣是上三角矩陣

單位矩陣是主對角線全為\(1\)的對角矩陣,一般用\(I/E\)表示

逆矩陣

矩陣\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\),是滿足\(AA^{-1} = A^{-1}A = I\)的矩陣

求逆矩陣的方法:

將原矩陣的右邊放一個單位矩陣,並對整體進行消元,當左邊被消成單位矩陣時,右側就被消成了逆矩陣。如果中途失敗則說明矩陣不可逆

其實還好理解,消元過程中使用的矩陣初等行變換實際上是左乘一個矩陣,他們的乘積就是逆矩陣,因此我們需要在右側來構造一個矩陣來收集乘積的結果。

行列式

定義

一個方陣的行列式表示為\(|A|\)

\[|A| = \sum_{p}(-1)^{\sigma(p)} \prod_{i = 1}^n a_{i, p_i}\]

其中\(p\)表示任意一個\(1\)\(n\)的排列

\(\sigma(p)\)表示\(p\)的逆序對的數量

比如當\(n = 2\)時,

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{12} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]

解釋一下

\(p = 1,2\)時,逆序對為\(0\)個,\(p_1 = 1, p_2 = 2\),因此\((-1)^0 *(a_{1_{p_1}})*(a_{2_{p_2}}) = a_{11} * a_{22}\)

\(p = 2,1\)時,逆序對為\(1\)

個,\(p_1 = 2, p_2 = 1\),因此\((-1)^1 * (a_{1_{p_1}})*(a_{2_{p_2}}) = -1 * a_{12} * a_{21}\)

因此\(|A| = a_{11}{22} - a_{12}a_{21}\)

性質

  • 一個對角矩陣/上三角矩陣的行列式值是所有對角線上元素的乘積

證明:

大概感性的理解一下吧,考慮行列式的定義中,我們需要列舉\(a_{i{p_i}}\),那麼當\(i = n\)(也就是最後一行),我們只有一種取值(\(p_n = n\))不為\(0\)

\(i = n - 1\)時,雖然有兩種取值,但是最後一行已經去了一種,因此還是隻有一種取值,以此類推。每一行都只有一種取值

因此答案為對角線元素的乘積

  • 交換矩陣的兩行/兩列,行列值取反

證明:

性質:對於一個排列,交換任意兩個元素,排序的奇偶性一定改變

我們交換了兩行/兩列,實際上是交換了\(p_i, p_j\),因此奇偶性一定改變。

  • 將矩陣的一行/一列乘上一個固定的常數\(k\),行列式值也乘上\(k\)

  • 將矩陣的一行加到另外一行上去,行列式值不變,列同理

證明:

想要直接證明比較困難,我們先證幾個性質

  1. 存在兩行一樣的矩陣,行列式值為\(0\)

    證明:考慮,如果第\(x\)行和第\(y\)行相同,那麼交換排列中的\(p_x, p_y\)\(\prod a_{i, p_i}\)不變,而前面的符號相反。所以行列式的每一項都存在一項和它的絕對值相同,符號相反

  2. 假設矩陣第\(x\)行,第\(i\)列的元素為\(a_{i}\),且滿足\(a_i = b_i + c_i\),那麼我們一定可以構造兩個矩陣\(B,C\),使得\(|A| = |B| + |C|\)

有了這兩個性質,再重新考慮我們需要證明的東西

一個行\(a\)加到另一行\(b\)上面,我們會得到一行\(c = a+b\)

我們可以把\(c\)拆開來看,其中的\(b\)已經出現過,因此它對答案的貢獻為\(0\)

所以行列值的值不變

  • 矩陣可逆的充要條件是行列式不為\(0\)

證明:

行列式為\(0\),說明消元過程中出現了\(a_{i, j} = 0\)

有了這些性質,我們就可以用高斯消元\(O(n^3)\)的時間複雜度內求出矩陣行列式的值

伴隨矩陣

餘子式:

將方陣的第\(i\)行和第\(j\)行同時劃去,剩餘的一個\(n - 1\)階的矩陣的行列式值稱為元素\(a_{ij}\)的餘子式,通常記為\(M_{ij}\)

代數餘子式:

元素\(a_{ij}\)的代數餘子式為\(C_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}\)

拉普拉斯展開

對於一個方陣\(A\)\(A\)的行列式等於某一行所有元素的值乘上他們代數餘子式 的和

即:\(|A| = \sum_{i = 1}^n a_{xi} C_{xi}\)\(x\)是一個確定的行座標,列同理

伴隨矩陣

矩陣\(A\)的代數餘子式矩陣是有每個元素的代數餘子式構成的矩陣

矩陣\(A\)的伴隨矩陣\(A*\),是\(A\)的代數餘子式矩陣的轉置,即\(A* = C^T\)

對於可逆矩陣,滿足

\(A* = |A|A^{-1}\)

其他的一些定義

線性空間

線性空間:一個非空集合\(V\),對加法滿足阿貝爾群,對數乘滿足結合律,分配律,封閉性,域\(F\)上的單位元\(1\)滿足\(1v = v\)

子空間:設\(W\)\(V\)的一個子集,\(W\)在加法和數乘下都是封閉的,且\(0 \in W\),則\(W\)\(V\)的子空間

生成子空間(擴張):對於若干\(V\)中的元素\(v\),包含這些\(v\)的最小的子空間
\(W\)是這些元素的生成子空間

生成集合:對於一個\(V\)的子集\(v\),如果\(v\)的生成子空間是\(V\),則稱\(v\)\(V\)的一個生成集合

線性相關

對於一個線性空間的一個子集\(v_1, v_2, \dots , v_k\),如果\(x_1v1 + x_2v_2 + \dots x_kv_k = 0\)存在非平凡解,則稱這個子集線性相關,否則線性無關。這個條件等價於:任何一個元素都可以被其他元素線性表出

對於向量空間\(V\)的一個線性無關子集\(v\),如果\(v\)的生成子空間是\(V\),則稱\(v\)\(V\)的一組基,\(|v|\)\(V\)的維度,同時\(v\)也是\(V\)的最小生成集合,同時也是極大線性無關組

對於一個矩陣\(A\),把它的每一行看做一個行向量,那麼它的極大線性無關組大小稱為\(A\)的行秩,同理也可以定義\(A\)的列秩。顯然,一個矩陣的行秩和列秩是相等的,如果一個矩陣的秩等於它的階,那麼這個矩陣滿秩

同樣,一個矩陣可逆的條件等於矩陣滿秩。

反證法:如果矩陣不滿秩,則消到最後一行時,一定可以被之間的線性表出

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