動態規劃__數字三角形
寫了這麼久程式,總是卡在動態規劃,這次,準備集中攻克一下
如果我們能夠儲存已解決的子問題的答案,而在需要時簡單查一下,這樣我們就可以避免大量的重複計算,從而得到多項式時間的演算法。
為了實現上述演算法,我們用一個數組來記錄所有已解決的子問題的答案,無論子問題以後是否被用到,只要它被計算過,就將其存入陣列中,這種方法在程式設計中被稱為動態規劃。
由淺到難進行攻克,選擇【牛客網——數字三角形】作為第一題。同時也是IOI’94年的題
【題目描述】
如下所示為一個數字三角形:
73 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
請編一個程式計算從頂到底的某處的一條路徑,使該路徑所經過的數字的總和最大
每一步可沿直線向下或右斜線向下走。
1<三角形行數≤100
三角形中的數字為整數0,1,。。。,99
【輸入描述】
輸入包含多組。每組資料的第一行包含一個正整數n(1≤n≤100),代表三角形的層數。
緊接著有n行數字,第i(1≤i≤n)行包含i個自然數。
【輸出描述】
對應每組資料,輸出最大的和。
看到了題目要求是會輸入多組,哎。。。。怎麼輸入多組呢?
C++解決方法:
int n;
while (cin >> n)
{
//執行的方法
}
JAVA解決方法:
Scanner sc=new Scanner(System.in);
while(sc.hasNext()) {
int n = sc.nextInt();
//執行的方法
}
分析:
由於某個點只可能走到它的下方或斜下方(如圖8向下到2,向斜下到7)。也可以這麼看,7只能由8或1到達。
7
3 8
8 1 0
↓↘↓
2 7 4 4
4 5 2 6 5
因此,最優路徑必定與其左上方或正上方兩個位置的最優路徑有關。(7的最優路徑必定於8或1的最優路徑有關)
用二維陣列a來記錄數字三角形中的數,a[ i , j ]表示數字三角形中第i行的第j個數。
用二維陣列m記錄每個位置的最優路徑的數字總和。
計算陣列m用逐行遞推的方法實現。
關鍵公式:m[ i , j ] = a[ i , j ] + max{ m[ i+1 , j ] , m[ i+1 ,j+1]}
例:
a[ 2 , 0] = 8
a[ 3 , 0] = 2 a[ 3 , 1 ] = 7
m[ 2 , 0] = a[2 , 0 ] + max{ m[ 3 , 0 ] , m[ 3 , 1 ]}
JAVA程式碼:
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
int n;//行數
int[][] a;//存放三角形
int[][] m;//存放運算結果
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while(sc.hasNext())
{
n = sc.nextInt();
a = new int[n][n];
m = new int[n][n];
for (int i7=0;i7<n;i7++)
Arrays.fill(m[i7], 0);
for(int i1=0;i1<n;i1++)
{
for(int i2=0;i2<=i1;i2++)
{
a[i1][i2]=sc.nextInt();
}
}
for(int i3=0;i3<n;i3++)
{
m[n-1][i3] = a[n-1][i3];
}
if(n>1)
{
for(int i=n-2;i>=0;i--)
{
for(int j=0;j<=i;j++)
{
if(m[i+1][j]>m[i+1][j+1])
{
m[i][j]=a[i][j]+m[i+1][j];
}
else
{
m[i][j]=a[i][j]+m[i+1][j+1];
}
}
}
}
System.out.println(m[0][0]);
}
}
}
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