題意：小明和小紅參加一種新的取石子游戲。遊戲開始時有 n 堆石子，參與遊戲的兩個選手輪流取走和移動石子，遊戲從小明開始。在每一輪中，選手選擇一個至少有一顆石子的堆，從該堆石子中拿走至少一個石子。接著，該選手可以多次地從該堆中剩下的石子中把任意多的個石子移動到任意的堆中。當然，該選手也可以不移動任何石子。但是，必須注意，選手必須從該選中的堆中取起至少一塊石子。因此，隨著遊戲的進行，石子越來越少。當輪到某選手時，已經沒有石子可以取走時，該選手輸掉了遊戲。小明和小紅都極其聰明，總能以最優的策略進行遊戲。現在，給定堆數 n 和每一堆的石子數目，請問小明能在遊戲中否獲勝？

本題中的遊戲是一種 impartial game

先從 n = 1 開始考慮。這時，小明可以把該堆的所以石子取走，從而必勝無疑。

假設 n = 2。若用 (x,y) 表示某一輪中兩堆石子的數目（總假定 x <= y），則 (x,y) 也可以看成遊戲中的一個狀態。最終態為 (0,0)。這時，輪到的選手落敗。當輪到小明時，若此時的狀態為 (0, x) 且 x>0，則問題化為 n=1的情況，從而小明必勝。進一步考慮複雜些的狀態，例如 (1, x), x>= 1。當 x=1 時，小明必輸。其實當狀態為 (x,x) 型時（兩堆石子數目相同），小明都必敗，因為，無論小明如何取走和移動石子，小紅都可以通過取走合適數目的石子，把狀態重新調整為 (y,y)型。同時也容易看出，若為其它型別的狀態，則小明必勝。

再考慮 n = 3。如果小明可以通過取走和移動石子把狀態調整成 (0,x,x) 型，則小明可以獲得最終的勝利。事實上，小明確實可以做到。證明如下：假設當前狀態為 (x,y,z)，並不失一般性，假設 x<=y<=z。則 y-x < y <= z。通過在 z 堆中取走 z-(y-x) >= 1 個石子，並把 y-x 個石子移動到 x 堆上，可以把狀態 (x,y,z) 轉換成 (0,y,y)。

看來，兩堆石子數目相同是個很特殊的狀態。然而，現在尚不清楚，對於更多的堆，情況是如何的。於是，接著考慮 n = 4。顯然，(1,1,1,1) 是必敗狀態，(1,1,2,2) 也是如此。可以猜測當小明面對 (x,x,y,y) 型狀態時必敗。要證明這是必敗狀態，則需要證明，無論採用什麼策略，小明結束該輪之後，狀態不是 (x,x,y,y) 型，並且，小紅可以在接下來的一輪中，把狀態重新調整成 (x,x,y,y) 型。這樣，小明最終會被逼面臨 (0,0,0,0) 這個終態，從而輸掉遊戲。簡單的思考可以驗證" (x,x,y,y)型狀態是小明的必敗狀態" 這一結論。

現在，要把上述的結論推廣到任意數目的堆。當 n 為偶數時，我們把狀態  (x₁,x₁,x₂,x₂,...,x_m,x_m)，即，當有偶數堆，並且可以把這 n 堆分成 n/2 組，每組由兩個石子數目相同的堆組成的狀態， 稱為目標狀態。現在我們證明，目標狀態是小明的必敗狀態；而其它狀態是他的必勝狀態。

引理一：當 n 為偶數，且選手面臨目標狀態，則無論選手採取何種策略，在結束該輪之後的狀態一定不是目標狀態。

證明：用反證法。假設命題不成立。則結束該輪之後的狀態可以寫為 (y₁,y₁,y₂,y₂,...,y_m,y_m)，不失一般性，假設 y₁<=y₂<=...<=y_m 和 x₁<=x₂<=...<=x_m。 考慮分組 {x_k,x_k}中的兩個堆。其中至少有一個堆不是被選手選中的堆。顯然，這個堆對應  (y₁,y₁,y₂,y₂,...,y_m,y_m) 中的某個分組 {y_t,y_t}中的某個堆。同時，因為這個堆沒被選中，其石子的數目不會減少，因此，y_t>=x_k。由於(x₁,x₁,x₂,x₂,...,x_m,x_m) 和  (y₁,y₁,y₂,y₂,...,y_m,y_m) 中的堆存在一一對應的關係，從而對每個 x_k，惟一對應著一個y_t，並且 有x_k<=y_t 。這說明，2(x₁+x₂+...+x_m) <= 2(y₁+y₂+...+y_m)，即結束該輪後，總的石子數目不減。但這是不可能的。證畢。

注：在上述證明中，可以證明更強的結論：對所有 k， 成立x_k <= y_k。

引理二：當選手面臨的狀態不是目標狀態時，總是可以採取某個策略，使得該輪結束後，狀態為目標狀態。

證明：不妨假設面臨的狀態為 (x₁,x₂,...,x_n)，x₁ < x₂ <  ... < x_n（若有兩個數目相同的堆，則無須對它們進行任何操作，因此，可以把任何兩個數目相同的堆排除在考慮之外）。當 n=2m 偶數時，選擇堆 x_n，並進行如下操作：把x_2k+1-x_2k 個石子移到堆x_2k，1<=k<= m-1。這樣，總共需要從堆 x_n 中移出 M=(x₃-x₂)+(x₅-x₄)+...+(x_2m-1-x_2m-2)<x_n-x₁。接著，取走 x_n-M-x₁>0 個石子。當 n = 2m+1 為奇數時，同樣選擇堆 x_n，並進行如下操作：把 x_2k-x_2k-1 個石子移動到堆 x_2k-1，1<=k<=m。這樣，總共需要從堆 xn 中移出 M=(x₂-x₁)+(x₄-x₃)+...+(x_2m-x_2m-1)<x_n-x₁ 接著，取走剩下的所有 x_n-M>0 顆石子。

定理：當 n 為偶數且初始狀態為目標狀態時，小明必敗；否則，必勝。

至此，問題完美解決。程式碼很簡單，只需要檢測 n 的奇偶性。當 n 為偶數時，進一步檢測每堆的石子數目出現的次數是否為偶數。若採用雜湊表，則當 n 為偶數時，時間複雜度為 O(n)；為奇數時，O(1)。

PS：很久沒做 POJ 了。最近在研究博弈論，於是順便把 POJ 中有關博弈的題目做一做......