讓我首先討論一下形式的約束規劃問題：

minf(x),s. t. x∈Rnci(x)=0,i∈E={1,2,…,l}ci(x)≤0,i∈I={l+1,l+2,…,l+m}

本文中我們不深究一般約束規劃問題的最優性性條件的證明，僅給出部分常用定理。後續我們也僅針對凸優化問題做詳細討論。

基本概念

無約束規劃問題的討論詳見此文，這裡介紹了局部解與全域性解得概念。約束規劃問題解得概念與之類似，此處省略。但要注意這裡存在可行域的問題。記上述約束規劃問題的可行域為：

D={x|ci(x)=0,i∈E,ci(x)≤0,i∈I}

設 x^ 是一般約束問題的可行點，當 i∈I 時，對某個約束，若 c

i(x^)=0，則稱 ci(x^)≤0 為 x^ 處的有效約束（active constraint）；若 ci(x^)<0 ，則稱 ci(x^)≤0 為 x^ 處的非有效約束。定義

I(x^)={i|ci(x^)=0,i∈I}為 x^ 處的有效集（active set）。

區域性解的必要條件

一階必要條件

考慮上述約束規劃問題，這裡我們假設 f(x),ci(x),(i=1,2,…,l+m) 是連續可微函式。由於時間有限，這裡對可行點（feasible point）、可行方向（feasible direction）、線性化錐、約束限制條件（constraint qualification）、Farkas引理

等概念、定理不作介紹。我們引進Lagrange函式：

L(x,λ)=f(x)+∑i=1l+mλici(x) 定理 1（約束問題區域性解的一階必要條件）：
設約束問題中 f(x),ci(x),(i=1,2,…,l+m) 具有連續可微的一階偏導數，若 x∗ 是該約束問題的區域性解，並且在 x∗ 處約束限制條件成立1，則存在 λ∗=(λ∗1,λ∗2,…,λ∗l+m)T 使得：
∇xL(x∗,λ∗)=∇f(x∗)+∑i=1l+mλ∗i∇ci(x∗)=0 其中
ci(x∗)=0,i∈E={1,2,…,l}ci

約束規劃問題與凸二次規劃

基本概念

區域性解的必要條件

一階必要條件

約束規劃問題與凸二次規劃

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