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學習過了二叉查詢樹，想必大家有遇到一個問題。例如，將一個數組{1,2,3,4}依次插入樹的時候，形成了圖1的情況。有建立樹與沒建立樹對於資料的增刪查改已經沒有了任何幫助，反而增添了維護的成本。而只有建立的樹如圖2，才能夠最大地體現二叉樹的優點。

　　在上述的例子中，圖2就是一棵平衡二叉樹。科學家們提出平衡二叉樹，就是為了讓樹的查詢效能得到最大的體現（至少我是這樣理解的，歡迎批評改正）。下面進入今天的正題，平衡二叉樹。

AVL的定義

　　平衡二叉查詢樹

1. 可以是空樹。
2. 假如不是空樹，任何一個結點的左子樹與右子樹都是平衡二叉樹，並且高度之差的絕對值不超過1

　　平衡之意，如天平，即兩邊的分量大約相同。如定義，假如一棵樹的左右子樹的高度之差超過1，如左子樹的樹高為2，右子樹的樹高為0，子樹樹高差的絕對值為2就打破了這個平衡。如依次插入1，2，3三個結點（如下圖）後，根結點的右子樹樹高減去左子樹樹高為2，樹就失去了平衡。

　　那麼在建立樹的過程中，我們如何知道左右子樹的高度差呢？在這裡我們採用了平衡因子進行記錄。

　　平衡因子：左子樹的高度減去右子樹的高度。由平衡二叉樹的定義可知，平衡因子的取值只可能為0,1,-1.分別對應著左右子樹等高，左子樹比較高，右子樹比較高。如下圖

　　說到這裡，我們已經可以大概知道平衡二叉樹的結構定義需要什麼內容了，資料成員，平衡因子，以及左右分支。所以，我們給出如下的結構定義。大家主要首先先了解平衡因子的各個取值及其含義即可。

typedef char KeyType;                   //關鍵字

typedef struct MyRcdType            //記錄

{

    KeyType key;

}RcdType,*RcdArr;

typedef enum MyBFStatus                //為了方便平衡因子的賦值，這裡進行列舉

{                           //RH,EH,LH分別表示右子樹較高，左右子樹等高，左子樹較高

    RH,EH,LH

}BFStatus;

typedef struct MyBBSTNode       //樹結點型別定義

{

    RcdType data;                             //資料成員

    BFStatus bf;                                 //平衡因子

    struct MyBBSTNode *lchild,*rchild;        //左右分支

}BBSTNode,*BBSTree;

AVL樹的插入時的失衡與調整

前言：這部分的失衡調整是指插入時的失衡與調整。刪除的失衡與調整與插入大致一樣，但是還是有很多不同，在後續章節講解。

一、 失衡與調整的引導

　　說了這麼久，我們開始進入今天的重點，如何將一棵不平衡的二叉樹變成平衡二叉樹（只討論不平衡的是因為假如樹是平衡的就不必我們進行處理）。平衡二叉樹的失衡調整主要是通過旋轉最小失衡子樹來實現的。

　　最小失衡子樹：在新插入的結點向上查詢，以第一個平衡因子的絕對值超過1的結點為根的子樹稱為最小不平衡子樹。也就是說，一棵失衡的樹，是有可能有多棵子樹同時失衡的，如下。而這個時候，我們只要調整最小的不平衡子樹，就能夠將不平衡的樹調整為平衡的樹。

　　在圖7中。2結點（左子樹樹高-右子樹樹高）的絕對值=2。同理，3結點的平衡因子也為2.此時同時存在了兩棵不平衡子樹，而以3為根的樹是最小的不平衡子樹。我們只要將其以3為中心，將最小不平衡樹向左旋轉，即可得到平衡二叉樹，如圖8。具體方法後續講解。

下面我們先用兩個簡單的例子來感受一下調整的方法。

例1：右子樹過高，向左旋轉。步驟如下

       i. 將2作為根結點

      ii. 將1作為2的左孩子

     iii. 將2的左孩子作為1的右孩子（維護樹的有序性，只是此處為NULL而已）

例2：左子樹過高，向右旋轉。步驟如下

       i.   將2作為根結點

      ii.   將3作為2的右孩子

     iii.   將2的右孩子作為3的左孩子（維護樹的有序性，只是此處為NULL而已）

下面我們再來看一個通過旋轉，但是沒辦法達到平衡的失敗例子。

例3：右子樹過高，向左旋轉。步驟如下

      i.   將3作為根結點

     ii.   將3的左孩子作為1的右孩子

    iii.   將1作為3的左孩子

　　如上，我們發現，旋轉之後樹並沒有恢復平衡。對比圖9，我們發現，根的右子樹不一致。

　　在上面的三個例子我們可以看出，我們對不平衡的樹進行旋轉的時候，不僅需要考慮需要最小失衡子樹的根結點的平衡因子，還要考慮根結點較高子樹的根結點的平衡因子。如圖9與圖11中，較高子樹都為右子樹，右子樹不同，旋轉後有著完全不同的結果。

　　為了方便討論，我們使用連續的兩個字母來表示平衡因子，以表示各種不同的情況。第一個字母表示最小不平衡子樹根結點的平衡因子，第二個字母表示最小不平衡子樹較高子樹的根結點的平衡因子。使用L表示左子樹較高，R表示右子樹較高，E表示左右子樹等高。如上述圖11，根為的平衡因子L，較高子樹的根為L，我們將這種情況表示為LL型，再如上述例子3，根為R，較高子樹的根為L我們將這種情況稱為RL型。

　　下面我們將對所有的失衡情況進行討論。大致分為兩大類，一左子樹過高，二右子樹過高。順帶提一下記憶的方法，讀者對於具體某一種型別只要記住最後哪一個結點作為根即可，也就是下面標紅色的部分。

二、失衡與處理詳解

1. 左子樹過高

　　a) LL型

　　在LL型的不平衡樹中，我們首先找到最小不平衡子樹，再以其根結點向右旋轉。為何是向右旋轉呢？應該不難理解，向右旋轉後，相當於右邊的子樹樹高增加了1，而左邊的子樹樹高降低了1，而原本的樹高之差為2,那麼就能夠將根的平衡因子就化為0.引用一下之前的圖如下。旋轉之後為“原來根結點的左孩子作為新的根結點”。

　　我們對樹以根結點為中心，向右旋轉。旋轉步驟如下

    i.   將2作為根結點

   ii.   將3作為2的右孩子

  iii.   將2的右孩子作為3的左孩子（維護樹的有序性，只是此處為NULL而已）

　　旋轉後，3與2的平衡因子為EH，1的平衡因子保持不變。

　　b) LE型

　　在這裡需要說明的是，插入的時候，是不會出現LE的這種情況的。只有在刪除的時候才會出現。下面對於為何插入不可能出現做一些個人見解。

　　我們不妨假設存在LE的這種情況。如下。

　　假設我們剛插入的元素是1，那麼原來的樹已經不是平衡樹。不可能。

　　假設我們剛插入的元素是2.5，那麼原來的樹也不是平衡樹，也不可能。所以說在插入的時候，是不會出現LE的這種情況的。而具體什麼時候會出現呢，我們在刪除的章節進行講解。同理，不可能出現RE的情況，下面也不進行討論。讀者可以使用反證法自行驗證。

　　c) LR型

　　對於LR，要分為兩步進行旋。旋轉之後為“原來根結點的左孩子的右孩子作為新的根結點”。

　　第一以較高子樹的根，即1，為中心向左旋轉。具體步驟如下。

          i. 將2的左子樹作為1的右子樹（維護樹的有序性，只是此處為NULL而已）

         ii.  將1作為2的左子樹

        iii.  將2作為3的左子樹

　　第二以原樹的根，即3為中心，向右旋轉。最後結果如下

　　旋轉後，1,2,3的平衡因子變為0(無需記憶)。再次發表個人意見，平衡因子要用到的時候推一下就好了。

2. 右子樹過高

　　a) RR型

　　還是引用一下之前的例子。旋轉的步驟如下。旋轉之後為“原來根結點的右孩子作為新的根結點”。

     i.  將2作為根結點

    ii.  將1作為2的左孩子

   iii.  將2的左孩子作為1的右孩子（維護樹的有序性，只是此處為NULL而已）

　　最後1,2,3的平衡因子都為EH。

　　b)RL型

　　還是引用一下之前的例子。與LR型類似，我們需要進行兩次旋轉。旋轉之後為“原來根結點的右孩子的左孩子作為新的根結點”。

　　第一，以根結點的右孩子即3為中心向右旋轉，結果如下。具體步驟如下

      i.  將2作為1的右孩子

     ii.  將3作為2的右孩子

    iii.   將2的右孩子作為3的左孩子（維護樹的有序性，只是此處為NULL而已）

　　第二，以原根結點即1，作為中心，向左旋轉。結果如下。具體步驟如下

     i.   將2作為根結點

    ii.   將1作為2的左孩子

   iii.   將2的左孩子作為1的右孩子（維護樹的有序性，只是此處為NULL而已）

　　最後1,2,3的平衡因子都會EH

3、  插入時失衡與調整的總結

1. 在所有的不平衡情況中，都是按照“尋找最小不平衡樹”->“尋找所屬的不平衡類別”->“根據4種類別進行固定化程式的操作”。
2. LL,LR，RR，RL其實已經為我們提供了最後哪個結點作為新的根指明瞭方向。如LR型最後的根結點為原來的根的左孩子的右孩子，RL型最後的根結點為原來的根的右孩子的左孩子。我們只要記住這四種情況，可以很快地推匯出所有的情況。
3. 維護平衡二叉樹，最麻煩的地方在於平衡因子的維護。想要熟悉這個過程，建議讀者多多畫圖，在感官上首先體驗這個過程。

　　說到這裡，我們已經瞭解了了解了什麼是平衡二叉樹，插入結點後如何調整平衡二叉樹。我們資料結構中經常講到的有增刪查改，那麼下面我們來講解一下如何刪除。

AVL樹的刪除時的失衡與調整

今天心血來潮想要寫這篇部落格的原因主要就在於此。我在網上找了許久，很多人對於AVL樹的查詢，插入都講解得非常精彩，但是刪除的時候卻經常貼出一段程式碼，比較少有講解，對於我等需要完成作業的學生實在難受，完成作業後就希望能夠與大家分享一下。咳咳，我們迴歸正題。前方高能，喝口水，看一下窗外帥哥美女再繼續看吧。

一、             預備知識

　　1.       樹的刪除

假如有一棵二叉查詢樹如下，我們對它進行中序遍歷，可以得到1, 2, 2.5, 3。我們發現，這是一個遞增的序列。假如我們現在要刪除的結點為3，在不考慮樹的平衡問題時，應該哪個結點來作為頂替3的位置呢呢？答案是：對排序二叉樹進行中序遍歷時，3的直接前驅或者直接後驅。在這裡，就是2.5，所以刪除後，不進行調整的結果如中間圖。假如我們現在要刪除的結點為2，在不考慮樹的平衡問題時，1頂替2的位置（假設左孩子優先於右孩子）。最後如下右圖。

具體的步驟如下：

      i.  尋找到要刪除的結點（3）

     ii.  將待刪除結點的直接前驅或者直接後驅賦值給待刪除結點（2.5賦值給3結點）

    iii.  將直接前驅或者直接後驅刪除（將葉子結點的2.5刪除）

     由於我們今天主要講的是平衡二叉樹的平衡調整，所以這部分就權當給讀者惡補一下。假如讀者還是不能理解，請先檢視一下二叉查詢樹的刪除，再繼續往下看。

　2.   平衡因子的預告

　　我們已經知道，平衡因子有且僅有三種取值，LH,RH,EH。對於如下的一棵樹，刪除一個結點後

　　a)   原本樹左右子樹等高。根平衡因子的取值變化為EH->LH,EH->RH。

　　b)   原本樹左右子樹不等高，在較高的子樹上進行刪除，根平衡因子的取值變化為LH->EH,RH->EH。需要注意的是，當根的平衡因子變化為LH->EH,RH->EH時整棵樹的高度是下降的。最簡單的例子如下。以下兩棵樹，分別刪除1,3後，平衡因子LH->EH,RH->EH。最後樹的高度都下降了。

　　c)  原本樹左右子樹不等高，在較低的子樹上進行刪除，此時需要對樹進行平衡處理。如下刪除了結點1，得到右邊的不平衡樹。

 　3.       什麼會導致樹高降低

　　a)   如第2點的的第b項，根的平衡因子由LH->EH,RH->EH時整棵樹的高度是下降的。

　　b)   建立在a點以及平衡處理正確的基礎上，對樹進行正確的平衡處理後，樹高會降低。為什麼呢？因為其實最小不平衡子樹進行旋轉後，最小不平衡子樹根的平衡因子總是變

　　為EH，或者說，平衡調整總是降低了最小不平衡子樹的高度。舉例如下。樹的高度由原來的3變為了2.

二、             正式進入AVL樹的刪除與調整

　1.       刪除結點導致平衡二叉樹失衡

　　AVL樹也是一棵二叉查詢樹，所以它的刪除也是建立在二叉查詢樹的刪除之上的，只是，我們需要在不平衡的時候進行調整。而我們在預備知識的第2點中的C項中已經提及到，假如我們在較低的子樹上進行刪除，將會直接導致不平衡樹的出現。那麼，我們需要進行平衡處理的，就在於此種情況。舉個栗子。

 　2.       調整不平衡子樹後，導致了更大的不平衡子樹

　　假設最小不平衡子樹為A，它為雙親結點b的左子樹，而b的平衡因子為RH。假設我們現在對A進行了平衡處理，如上所講，進行平衡處理將導致樹高降低。即我們讓b較矮的子樹變得更矮了。此時對於b而言，同樣也是不平衡的。此時，我們需要再一次進行一次平衡處理。舉個栗子如下。

　　假設我們刪除了結點6.那麼最小不平衡子樹就是1,3，5對應的二叉樹。它的雙親10的平衡因子為RH。我們首先對最小不平衡子樹進行調整，結果如右圖。我們發現，最小不平衡子樹從根結點的左子樹變成了整棵樹，所以這個時候我們又要進行一次平衡調整。具體的平衡調整步驟與插入時是一致的，在這裡就贅述。

　　在講解插入新的結點進行平衡時，說到刪除時與插入時不有著很大的不同就在於此。插入時，進行一次平衡處理，整棵樹都會處於平衡狀態，而在刪除時，需要進行多次平衡處理，才能保證樹處於平衡狀態。

　　細心的朋友可能發現，上面右圖中，最小不平衡子樹的較高子樹的平衡因子為EH。這個時候，就出現了前面插入時提及的不可能出現的失衡情況。

　3.       失衡與調整的最後一種情況LE與RE

　　LE與RE型的失衡樹，在進行調整的時候，和LL與RR型的旋轉方式是一致的。只是最後初始根結點的平衡因子不為EH而已。就拿上面的例子而言，調整後的結果如下。初始根結點的平衡因子為RH。相對應的，假如是LE的情況，調整後初始根結點的平衡因子為LH。

　　假如你看到了這個地方，請先為疲憊不堪的自己鼓鼓掌。本篇就到此結束，下一篇將為大家帶來具體的C程式碼實現。另外，這是followDreamLgx第一次寫部落格，希望大家批評改正。