機器學習----降維與度量學習(PCA)
思路
主成分分析、Principal Component Analysis、PCA的推導有很多種途徑,我們選擇一種,容易理解的來講解。我們的目的是降維,但是不能胡亂的降,觀察下面這組資料:
我們畫的是二維情況,但是具體到高維也是可以的。
投影之後樣本竟可能分散,即樣本方差儘可能大。
推導
樣本點
其中
令
所以在新座標裡樣本方差為
latex這個
我把問題寫清楚一點:
其中M當然等於
用拉格朗日乘數法解決這個優化問題:
得到
至此我們知道啦。搞了半天,
整理與降維
我們回到方差最大化。發現方差為:
所以特徵值越大,我們用對應特徵向量作為座標軸(基)變換後的樣本方差也就越大。如果我們選擇前k個特徵值對應的特徵向量,則能達到降維的目的~
降維前:
降維後:
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