傳遞函式的定義:

傳遞函式是指零初始條件下線性系統響應（即輸出）量的拉普拉斯變換（或z變換）與激勵（即輸入）量的拉普拉斯變換之比。記作 $G_{(s)} = \frac{Y_{(s)}}{U_{(s)}}$ ，其中 $Y_{(s)}$ 、 $U_{(s)}$ 分別為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換。

PID控制的時域函式：

U (t) = K_{p} (e (t) + \int_{0}^{t} \frac{e (t)}{T_{i}} d t + T_{d} \frac{d e (t)}{d t})

G (s) = \frac{U (s)}{E (s)}

這裡

U (s)

就是對

U (t)

的拉普拉斯變換(Laplace)，

E (s)

是對輸入量e(t)(關鍵就在於這個e(t)它是輸入量而且輸出量是關於e(t)的函式)的拉普拉斯變換，首先定義

L (e (t)) = F (s)

則根據拉普拉斯變換的線性性質

L (U (t)) = L (K_{p} e (t)) + L (K_{p} \int_{0}^{t} \frac{e (t)}{T_{i}} d t) + L (K_{p} T_{d} \frac{d e (t)}{d t}))

對於上式等式右邊第一項有定義可得

K_{p} F (s)

第二項由拉普拉斯變換的積分性質可得

\frac{K_{p} F (s)}{T_{i} s}

第三項由拉普拉斯變換的微分性質可得（f(0)=0）

K_{p} T_{d} s F (s)

所以右等式可化為

K_{p} F (s) (1 + \frac{1}{T_{i} s} + T_{d} s)

則傳遞函式為

G_{(s)} = \frac{K_{p} F (s) (1 + \frac{1}{T_{i} s} + T_{d} s)}{F (s)}

也即

K_{p} (1 + \frac{1}{T_{i} s} + T_{d} s)