對於容斥原理的最簡單的理解就是，把要計算的加上，然後把加多的減掉，然後再把減多的再加回去。這樣迴圈下去就對了。

一個好理解的例子就是一個班上有三個興趣班（c++，java，pasico），每個人都報了興趣班。30人報了一個，12人報了兩個，3人報了三個，求班上有多少人？這是一道小學題，自然也很簡單。ans=30-12+3=21（人）。然後這樣為什麼是對的呢？我們思考一下30之中把報了兩項的人計算了2次，把報了三項的人計算了3次。12中把報了3項的人計算了3次。所以我們用那個加減表示每種人都只計算1次的答案。（可以看圖再理解一下）

但是並沒有那麼簡單，因為不可能每道題的係數都是-1和1的交替。要解決更一般性的問題，我們可能要自己推係數，我們重點講一下推係數的方法。

一般的，由總結的公式得出∑ni=1s(Ci)fi=s(C0)$\sum _{i=1}^{n}s(C_i)f_i=s(C_0)$,其中s(Ci)$s(C_i)$表示所有物品在滿足Ci$C_i$情況下的總貢獻（一般的計數問題s(Ci)$s(C_i)$ 就是 滿足條件Ci$C_i$ 情況的個數）,而fi$f_i$是一個係數，在計算時，我們才能把除答案以外的的貢獻消掉。（這是用於計算答案的式子）要對這個公式有一個理解，我們還是舉兩個例子。

一、（錯排問題），一串1−n$1-n$的數列，求對於任意i$i$不在第i$i$位排列的方案數。

對於這個問題，首先我們要構造Ci$C_i$，當然這是很簡單的，我們很容易就可以想到：Ci$C_i$表示滿足有至少i$i$個不錯排數的情況。所以有：∑ni

=0Cin∗fi==[n==0]$\sum _{i=0}^n{C}_n^i\ast f_i==[n==0]$。反正第一次看人家推這個式子是懵逼的，為啥s(Ci)$s(C_i)$變成一個組合數了呢？其實仔細推敲一下還是可以理解的。首先，上面的式子和下面是有區別的。也就是說，這倆貨都不是一個東西。這個式子是用來計算fi$f_i$的！！！

現在大概能懂了吧，假設有一個恰好有n$n$個不錯排數的情況，它在i=0$i=0$時被計算了C0n$C_n^0$次，在i=1$i=1$時被計算了C1n$C_n^1$次，以此類推……因為我們要求的的是錯排數列，所以當n≠0$n\ne 0$時是不符合題意的，我們要讓它的貢獻為0（另：只有n=0$n=0$時，這個排列的貢獻為1）。然後可以想到一個n2$n^2$遞推fi$f_i$的方法。當然這類fi

$f_i$是有規律的，我們打表可知：fi=(−1)i$f_i=(-1{)}^i$。

至此我們把fi$f_i$全部計算出來了，之後我們怎麼計算答案呢？這個時候我們就可以使用上面一個公式了。ans=∑ni=1Cin∗(n−i)!∗fi$ans=\sum _{i=1}^n{C}_n^i\ast (n-i)!\ast f_i$。

是不是很神奇呢？

二、（約數問題），給定m$m$個數，統計在[1,n]$[1,n]$中，有奇數個整除它的數的個數。(i$i$屬於[1,n]$[1,n]$，若在這m$m$個數裡，有奇數個數可以整除i$i$，則ans$ans$++)，m≤15$m\le 15$，n≤1e9$n\le 1e9$。

列舉n$n$的複雜度是n∗m$n\ast m$的，顯然會超時，考慮容斥。

列舉m