Matlab中使用快速傅立葉變換（FFT）驗證卷積定理

引言

本科微積分教材中講過卷積定理，公式也非常容易背：
如果：

原理

所以在要分別對h，x做擴充，並使它們擴充之後大小一致。這樣，在頻域中二者就可以點乘了。

1. 擴充

在這裡，我們通過在矩陣水平與垂直正方向補0，把h∈Rc×d，x∈Ra×b都擴充至[a+c−1,b+d−1]。原始的h，x資料處於補充矩陣的左上角。

2. 變換

這一步可以跟上一步一起用函式fft2解決：

H = fft2(h, a+c-1, b+d-1);
X = fft2(x, a+c-1, b+d-1);

這裡fft2函式會自動擴充，然後進行變換。一開始以為是在原矩陣四周同時補0，後來經過驗證發現MATLAB只在矩陣兩個方向把0補齊即可。

3. 點乘，反變換

直接看程式碼：

G = X.*H;
g = ifft2(G);% 產生最大的結果，對應"full"
 

% 產生與x大小一致的結果，對應"same"
gf = g(floor((c-1)/2+1):floor((c+2*a-1)/2), floor((d-1)/2+1):floor((d+2*b-1)/2));

g的大小與G相同，即擴充後的大小；gf擷取至g，它的大小與原始矩陣x相同。

程式碼

既然是驗證，這裡就附上程式碼和結果以作驗證：

x = imread('horse.jpg'); %讀取原圖片
x = rgb2gray(x);
[a, b] = size(x);
figure, imshow(x); title('原影象');

c=5; 
d=5;
h = fspecial('gaussian'
 
, [c,d]) %產生點擴散函式
%產生空域卷積結果
gc = conv2(x, h, 'same'); %gc = conv2(x, h);產生最大的結果，對應"full"
figure, imshow(gc/255); title('卷積');

% 用fft驗證
H = fft2(h, a+c-1, b+d-1);
X = fft2(x, a+c-1, b+d-1);
G = X.*H; %點乘
g = ifft2(G);% 與G大小一致的結果，對應"full"
% 產生與x大小一致的結果，對應"same"
gf = g(floor((c-1)/2+1):floor((c+2*a-1)/2), floor((d-1)/2+1):floor((d+2*b-1)/2));

figure, imshow(gf/255);
%% 為了驗證兩種方式結果是否一致，將gf，gc做差顯示出來
figure, imshow(abs(gf-gc)/255);

經過驗證，最後一張影象幾乎全黑，意味這兩種方式計算的結果是一致的。

附

conv2()函式得到不同大小的卷積結果

C = conv2(x, h, shape);

抽時間把conv2()具體怎麼計算的講明白。