最大流

首先介紹的是網路流的基礎——最大流。
最大流，顧名思義，就是要讓網路中的總流量最大。

SAP&GAP

這裡，先講講SAP演算法+GAP優化。
SAP演算法，其實就是在找增廣路的時候給每個點記錄一個高度標號，每次增廣只走兩邊的點的高度相差為1的邊（即滿足條件h[v]==h[u]+1$h[v]==h[u]+1$的邊），且每次流完都用該點能走到的點的高度的最大值來更新該點的高度標號。該演算法的理論時間複雜度是O(n2m)$O(n^{2}m)$的，但在實踐中，加了優化後，時間複雜度遠遠低於理論值，而且程式碼很短，是最實用的最大流演算法之一。
根據SAP演算法的特點，我們注意到，當某次增廣時，最大流可能已經求出，因此演算法做了很多無用功。這啟示我們若高度標號之間存在間隙，就說明不可能再有增廣路，演算法就可以提前終止。這就是GAP優化。事實證明，GAP優化使程式的效率提高了不少。

當前弧

其實還可以加上當前弧優化：
當前弧優化，就是指在增廣時給每個點記錄一條當前弧。然後，每次從當前弧開始增廣，每找到一條可行弧就把它設為該點的當前弧。當前弧優化的作用也是十分顯著的（尤其是稠密圖），有一道叫圈地計劃的題，GAP跑了953ms，幾乎是壓線過了，加上當前弧之後只跑了70ms。
現在給出SAP+GAP+當前弧優化的標程（以usaco草地排水為例）：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int N=1010,M=500010,INF=int(1e9);
int tot,to[M*2],next[M*2],head[N],tail[N];
int
 
 m,n,S,T,c[N][N],h[N],vh[N];
using namespace std;
void link(int u,int v)
{
    to[++tot]=v;
    next[tot]=0;
    //
    if(!head[u]) head[u]=tot;
    else next[tail[u]]=tot;
    tail[u]=tot;
    //當前弧
}
int aug(int v,int flow)
{
    if(v==T) return flow;
    int minh=n+1;
    for(int i=head[v],j=tail[v];i;j=i,i=next
 
[i])//當前弧
    {
        int u=to[i];
        if(c[v][u])
        {
            if(h[v]==h[u]+1)
            {
                int f=aug(u,min(flow,c[v][u]));
                if(f>0)
                {
                    c[v][u]-=f;
                    c[u][v]+=f;
                    //
                    next[tail[v]]=head[v];
                    next[j]=0;
                    head[v]=i,tail[v]=j;
                    //當前弧
                    return f;
                }
                if(h[S]>n) return 0;
            }
            minh=min(minh,h[u]+1);
        }
    }
    //
    if(--vh[h[v]]==0) h[S]=n+1;
    h[v]=minh;
    vh[h[v]]++;
    //GAP
    return 0;
}
int main()
{
    int u,v,w;
    scanf("%d %d",&m,&n);
    S=1,T=n;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
        if(!c[u][v]) link(u,v),link(v,u);
        c[u][v]+=w;
    }
    int ans=0;
    vh[0]=n;
    while(h[S]<=n) ans+=aug(S,INF);
    printf("%d",ans);
}

最小割

割，顧名思義，就是要在圖中割掉一些邊。但是割掉的邊有限制條件：割完這些邊之後這個圖是“斷開”的，即沒有一條路徑能從S走到T。這些邊組成的邊集就是割。
使得割中的邊權和最小便是最小割。最小割模型也是一個非常重要的模型。
這裡不加證明地給出一個定理。

最小割=最大流

匈牙利演算法

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 1010
using namespace std;
int st,a[N][N],b[N],bz[N];
bool match(int v)
{
    if(bz[v]==st) return 0;
    bz[v]=st;
    for(int i=1;i<=a[v][0];i++)
    {
        int u=a[v][i];
        if(!b[u] || match(b[u]))
        {
            b[u]=v;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int n,k,x,y,ans=0;
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        scanf("%d %d",&x,&y);
        y+=n;
        a[x][++a[x][0]]=y;
        a[y][++a[y][0]]=x;
    }
    for(st=1;st<=n;st++)
        if(match(st)) ans++;
    printf("%d",ans);
}

給點的顏色規定為黑、白兩種。用b[i]$b[i]$表示i$i$與b[i]$b[i]$進行了匹配。
現在講講思路：對於每個黑點v$v$，都嘗試去匹配（它連出的點一定是白點，原因看定義）。如果它連向的白點u$u$目前沒有匹配到，就說明當前匹配成功，b[u]=v;$b[u]=v;$或者，嘗試把b[u]$b[u]$“趕走”，若能趕走，也說明匹配成功。否則說明匹配失敗。每匹配成功一次就把ans+1$ans+1$，最後ans$ans$就是最大匹配數。由於n$n$個點全部匹配一遍,每次匹配最多走m$m$條邊，所以時間複雜度是O(nm)$O(nm)$。

最小點（權）覆蓋問題

最小點（權）覆蓋

一個點可以覆蓋與它相鄰的邊。選出一些點，使得無向圖中的每條邊都被覆蓋，就是一個點覆蓋集。這個定義等價於讓每條邊連線的兩個頂點中至少選出一個。點覆蓋集是一個點集。而讓選出的點最少，就是最小點覆蓋集。讓選出的點的權值和最小，就是最小點權覆蓋集。這是經典的NPC問題。

二分圖的最小點（權）覆蓋問題的解決方法

這個問題的約束條件是邊：每條邊都要被覆蓋。把問題轉化成最小割模型。原圖中邊的關係不變。新增S,T點，S向X連邊，Y向T連邊（(X,Y)∈E$(X,Y)\in E$）。這樣一條從S到T的路徑必然是這樣的形式：S->u->v->T（u∈X,v∈Y$u\in X,v\in Y$）。為了體現約束條件，可以令(S,u)$(S,u)$的邊權為u$u$點的點權。類似，令(v,T)$(v,T)$的邊權為v$v$點的點權。然後人為地讓(u,v)$(u,v)$不在割中存在，即令(u,v)$(u,v)$的邊權為+∞$+\infty$，這樣一條從S到T的路徑中(S,u),(v,T)$(S,u),(v,T)$兩邊必有一邊被割，這就剛好滿足了約束條件。而最小割恰好是最小化點權，所以這個最小割模型就是問題的答案。
不帶權，答案等於最大匹配

最大點權獨立集問題

最大點（權）獨立集

選出一些點，使這些點任意兩點在原無向圖中都不相鄰，選出的這些點就是一個獨立集。該定義的限制條件等價於對於(u,v)∈E$(u,v)\in E$，u,v$u,v$不可同時在獨立集中。而點數最多的獨立集就是最大點獨立集。讓選出的點的權值和最大就是最大點權獨立集。這亦是經典的NPC問題

二分圖的最大點權獨立集問題的解決方法

可以證明，最大化點權獨立集等價於最小化點權覆蓋集。所以最大點權獨立集就可以用點權總和減去最小點權覆蓋集。感性理解起來挺顯然的233
不帶權，答案等於n-最大匹配

最小邊覆蓋

選擇邊，邊能覆蓋兩個端點。要求所有點都被覆蓋
聽說最小邊覆蓋=最大點獨立=n-最大匹配

最大權閉合子圖

定義：一個點帶權的有向圖，選出權值和最大的子圖，滿足圖中點的所有後繼也在子圖中
構圖：S向正權點連ai$a_i$，負權點向T連|ai|$|a_i|$，原圖中的邊容量為+∞$+\infty$
拿正權點權值和減去最小割就是答案

二分圖匹配

一些概念

圖的m$m$染色：一個圖中，在保證每對相鄰的點的顏色都互不相同的前提下，使顏色總數為m$m$的染色。
二分圖：一個圖可以2$2$染色。
二分圖最大匹配：兩種不同顏色的點按圖中連的邊進行配對，配對過的點就不能再進行配對，這時要求成功配對的點對數最大。具體可以參考這兒。

最小路徑覆蓋問題

用盡可能少的路徑覆蓋圖中所有點。

DAG的最小路徑覆蓋問題

最小不相交路徑覆蓋

DAG轉二分圖，每個點拆成X部，Y部，若DAG中存在邊a->b，二分圖中X部中的a向Y部的b連邊。
顯然答案等於n-最大匹配

最小可相交路徑覆蓋

一樣轉二分圖，只不過連邊是，只要x能到達y（不要求直接有邊相連），在二分圖中就連邊。
答案等於n-最大匹配

反鏈相關

反鏈定義：一個點集，其中兩兩點互不可達
根據Dilworth定理，最大反鏈=最小路徑覆蓋
Dilworth定理的對偶定理，最小反鏈覆蓋=最長路徑

丟連結跑

費用流

SPFA費用流

每次跑SPFA的時候要記錄S$S$到T$T$的路徑，然後流量顯然為路徑上殘量的最小值，記為minr$minr$。本次增廣總費用就是dis[T]∗minr$dis[T]\ast minr$(其實就是 每條邊的費用依次乘上流量 的總和)。

ZKW費用流

令dis[i]$dis[i]$表示

相關推薦