高斯消元

我們知道：
\[\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}\]
以及：
\[\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]
以及：
\[\sum_{i=1}^{n}i^3=(\sum_{i=1}^{n}i)^2=(\frac{n(n+1)}{2})^2\]
那我們可以猜想，自然數的\(k\)次冪和對應的公式是一個次數為\(k+1\)的沒有常數項的多項式（實際上也是的）。
證明嗎，暫時不會。。。

However，我們可以拿這個猜想做題。

設這個\(k+1\)次的多項式\(f(x)=\sum_{i=1}^{k+1}a_ix^i\)

由於解方程組需要用到高斯消元算法，時間復雜度是\(O(k^3)\)，在\(k\leq 100\)的範圍內還是能無壓力解決的。

總結

時間復雜度：\(O(k^3)\)
空間復雜度：\(O(k^2)\)

由於高斯消元時要在模意義下做除法，對於模數不是質數的情況無法適應，而且時間復雜度難以接受，不是一種較常用的方法。

第二類斯特林數

分析

定義\(S(n,m)\)表示\(n\)個有差別的球放入m個無差別的盒子中的方案數，要求盒子不能為空。

容易得到下面的遞推式：

要用它解決自然數冪和問題，還是要用到第二類斯特林數的一個性質：
\[a^k=\sum_{i=0}^{k}S(k,i)i!C_a^i\]
這個性質還是很好解釋的，我們可以把\(a^k\)當做\(k\)個有差別的球，放入\(a\)個有差別的盒子的方案數，盒子可以為空。
那麽我們就枚舉\(i\)個盒子被放滿了，\(S(k,i)\)只保證了球有差別，乘以\(i!\)相當於給盒子編號，令盒子也有差別

那麽就可以開始化自然數冪求和的式子：
\(\sum_{a=1}^{n}a^k\)
\(=\sum_{a=1}^{n}\sum_{i=0}^{k}S(k,i)i!C_a^i\)
兩個sigma沒有關聯，我們可以交換枚舉順序：
\(=\sum_{i=0}^{k}S(k,i)i!\sum_{a=1}^{n}C_a^i\)
由於\(a<i\)時\(C_a^{i}=0\)，又可以化成：
\(=\sum_{i=0}^{k}S(k,i)i!\sum_{a=i}^{n}C_a^i\)

繼續化簡需要用到一個性質：
\(\sum_{a=i}^{n}C_a^i=C_{n+1}^{i+1}\)
證明考慮運用組合數遞推公式即：
\(C_i^j=C_{i-1}^j+C_{i-1}^{j-1}\)
\(C_{n+1}^{i+1}\)
\(=C_n^i+C_n^{i+1}\)
\(=C_n^i+C_{n-1}^i+C_{n-1}^{i+1}\)
\(=C_n^i+C_{n-1}^i+C_{n-2}^i+C_{n-2}^{i+1}\)
繼續化下去就會得到：
\(=\sum_{a=i}^{n}C_a^i\)

性質就得證了，上面的式子就化簡為：
\(=\sum_{i=0}^{k}S(k,i)i!C_{n+1}^{i+1}\)
組合數有點麻煩，我們展開為階乘形式：
\(=\sum_{i=0}^{k}S(k,i)i!\frac{(n+1)!}{(i+1)!(n-i)!}\)
拆開\((i+1)!=i!*(i+1)\)：
\(=\sum_{i=0}^{k}S(k,i)\frac{(n+1)!}{(i+1)(n-i)!}\)
發現\(\frac{(n+1)!}{(n-i)!}\)其實是\(i+1\)個連續整數相乘，其中必有一個是\(i+1\)的倍數，因此式子一定取整數，就不用考慮模數的問題了。

那麽直接枚舉這\(i+1\)個連續的整數，得到了時間復雜度為\(O(k^2)\)的算法。計算斯特林數和求自然數冪的復雜度都是\(O(k^2)\)，總復雜度就是\(O(k^2)\)。

Code

附帶分解乘法黑科技

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long ll;
const int N = 2007;

ll k, n, p, s[N][N];

ll multi(ll a, ll b)
{
    ll x1 = a / 1000000, x2 = a % 1000000, y1 = b / 1000000, y2 = b % 1000000;
    return (x1 * 1000000 % p * y1 % p * 1000000 % p + x1 * 1000000 % p * y2 % p + y1 * 1000000 % p * x2 % p + x2 * y2 % p) % p;
}

ll solve(ll n)
{
    if (n == 0) return 0;
    ll ret = 0;
    for (int i = 1; i <= k && i <= n; i++)
    {
        ll sum = s[k][i];
        for (ll j = n - i + 1; j <= n + 1; j++)
            if (j % (i + 1) == 0) sum = multi(sum, j / (i + 1));
            else sum = multi(sum, j);
        ret = (ret + sum) % p;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld", &k, &n, &p);
    s[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            s[i][j] = (s[i - 1][j - 1] + multi(j, s[i - 1][j])) % p;
    printf("%lld\n", solve(n) % p);
    return 0;
}

總結

時間復雜度：\(O(k^2)\)
空間復雜度：\(O(k^2)\)

這種做法由於不用除法而適用於模數為任意數的情況，但是求斯特林數復雜度是\(O(k^2)\)的，當\(k\)較大時不再適用。

拉格朗日插值法

大坑待填。。。。

各類求自然數冪和方法