首先考慮計算模質數下的自然數冪和，通過stirling數轉化成下降冪，

∑i=0nik=∑i=0n∑j=0k{kj}ij–=∑j=0k{kj}∑i=0nij–$$\sum _{i=0}^n{i}^k=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}{i}^{\underset{\_}{j}}=\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}\sum _{i=0}^n{i}^{\underset{\_}{j}}$$
然後考慮對後面那個下降冪的和進行積分，我們注意到(x+1)k––−xk––=kxk−1–––––$(x+1{)}^{\underset{\_}{k}}-x^{\underset{\_}{k}}=k{x}^{\underset{\_}{k-1}}$，變一下就得到xk––=(x+1)k+1–––––−xk+1–––––k+1$x^{\underset{\_}{k}}=\frac{(x+1{)}^{\underset{\_}{k+1}}-x^{\underset{\_}{k+1}}}{k+1}$，設g(x)=xk+1–––––k+1$g(x)=\frac{x^{\underset{\_}{k+1}}}{k+1}$，那麼Δg(x)=g(x+1)−g(x)=xk––$\mathrm{\Delta }g$

(x)=g(x+1)−g(x)=xk_，那麼和式就是值就是g(n+1)$g(n+1)$了（和普通冪函式的求導好像形式一樣），
=∑j=0k{kj}(n+1)j+1––––j+1$$=\sum _{j=0}^k\left\{\begin{array}{c}k\\ j\end{array}\right\}\frac{(n+1{)}^{\underset{\_}{j+1}}}{j+1}$$
於是可以O(k2)$O(k^2)$解決問題。自然數冪和還有更優的做法，但這題有這個就可以解決。

將模數m$m$分解質因數=pα11pα22...(pi≤300000)$=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...(p_i\le 300000)$，假設所有α≤k$\alpha \le k$，因為α$\alpha$最多59$59$，當

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