紅黑樹之刪除操作
阿新 • • 發佈：2019-01-28
。
現在我們來看紅黑性質的恢復過程：
如果Y指向的節點是個紅色節點，那麼直接刪除掉Y以後，紅黑性質不會被破壞。操作結束。
如果Y指向的節點是個黑色節點，那麼就有幾條紅黑性質可能受到破壞了。首先是包含Y節點的所有路徑，黑高度都減少了一（第５條被破壞）。其次，如果Y的有紅色子節點，Y又有紅色的父節點，那麼Y被刪除後，就出現了兩個相鄰的紅色節點（第４條被破壞）。最後，如果Y指向的是根節點，而Y的子節點又是紅色的，那麼Y被刪除後，根節點就變成紅色的了（第２條被破壞）。
其中，第５條被破壞是讓我們比較難受的。因為這影響到了全域性。這樣動作就太大太複雜了。而且在這個條件下，進行其它紅黑性質的恢復也很困難。所以我們首先解決這個問題：如果不改變含Y路徑的黑高度，那麼樹的其它部分的黑高度就必須做出相應的變化來適應它。所以，我們想辦法恢復原來含Y節點的路徑的黑高度。做法就是：無條件的把Y節點的黑色，推到它的子節點X上去
但第１條性質是比較容易恢復的：一、如果X是同時具有紅黑兩色，那麼好辦，直接把X塗成黑色，就行了。而且這樣把所有問題都解決了。因為將X變為黑色，２、４兩條如果有問題的話也會得到恢復，演算法結束。二、如果X是雙黑色，那麼我們希望把這種情況向上推一直推到根節點（調整樹結構和顏色，X的指向新的雙黑色節點，X不斷向上移動），讓根節點具雙黑色，這時，直接把X的一層黑色去掉就行了（因為根節點被包含在所有的路徑上，所以這樣做所有路徑同時黑高減少一，不會破壞紅黑特徵）。
下面就具體地分析如何恢復1、２、４三個可能被破壞的紅黑特性：我們知道，如果X指向的節點是有紅黑兩色，或是X是根節點時，只需要簡單的對X進行一些改變就行了。要對除X節點外的其它節點進行操作時，必定是這樣的情況：X節點是雙層黑色，且X有父節點P。由知可知，X必然有兄弟節點W，而且這個W節點必定有兩個子節點。（因為這是原樹滿足紅黑條件要求而自然具備的。X為雙黑色，那麼P的另一個子節點以下一定要有至少兩層的節點，否則黑色高度不可能和X路徑一致）。所以我們就分析這些節點之間如何變形，把問題限制在比較小的範圍內解決。另一個前提是：X在一開始，肯定是樹底的葉節點或是NIL節點，所以在遞歸向上的過程中，每一步都保證下一步進行時，至少 X的子樹是滿足紅黑特性的。因此子樹的情況就可以認為是已經正確的了，這樣，分析就只限制在X節點，X的父節點P和X的兄弟節點W，以及W的兩個子節點中。
下面僅僅考慮X原本是黑色的情況即可。
在這種情況下，X此時應該具有雙重黑色，演算法的過程就是將這多出的一重黑色向上移動，直到遇到紅節點或者根節點。
接著往下分析， 會遇到4種情況，實際上是8種， 因為其中4種是相互對稱的，這可以通過判斷X是其父節點的右孩子還是左孩子來區分。下面我們以X是其父節點的左孩子的情況來分析這4種情況，實際上接下來的調整過程，就是要想方設法將經過X的所有路徑上的黑色節點個數增加1。
具體分為以下四種情況：（下面針對x是左兒子的情況討論，右兒子對稱）
Case1：X的兄弟W是紅色（想辦法將其變為黑色）
由於W是紅色的，因此其兒子節點和父節點必為黑色，只要將W和其父節點的顏色對換，在對
現在我們來看紅黑性質的恢復過程：
如果Y指向的節點是個紅色節點，那麼直接刪除掉Y以後，紅黑性質不會被破壞。操作結束。
如果Y指向的節點是個黑色節點，那麼就有幾條紅黑性質可能受到破壞了。首先是包含Y節點的所有路徑，黑高度都減少了一（第５條被破壞）。其次，如果Y的有紅色子節點，Y又有紅色的父節點，那麼Y被刪除後，就出現了兩個相鄰的紅色節點（第４條被破壞）。最後，如果Y指向的是根節點，而Y的子節點又是紅色的，那麼Y被刪除後，根節點就變成紅色的了（第２條被破壞）。
其中，第５條被破壞是讓我們比較難受的。因為這影響到了全域性。這樣動作就太大太複雜了。而且在這個條件下，進行其它紅黑性質的恢復也很困難。所以我們首先解決這個問題：如果不改變含Y路徑的黑高度，那麼樹的其它部分的黑高度就必須做出相應的變化來適應它。所以，我們想辦法恢復原來含Y節點的路徑的黑高度。做法就是：無條件的把Y節點的黑色，推到它的子節點X上去
但第１條性質是比較容易恢復的：一、如果X是同時具有紅黑兩色，那麼好辦，直接把X塗成黑色，就行了。而且這樣把所有問題都解決了。因為將X變為黑色，２、４兩條如果有問題的話也會得到恢復，演算法結束。二、如果X是雙黑色，那麼我們希望把這種情況向上推一直推到根節點（調整樹結構和顏色，X的指向新的雙黑色節點，X不斷向上移動），讓根節點具雙黑色，這時，直接把X的一層黑色去掉就行了（因為根節點被包含在所有的路徑上，所以這樣做所有路徑同時黑高減少一，不會破壞紅黑特徵）。
下面就具體地分析如何恢復1、２、４三個可能被破壞的紅黑特性：我們知道，如果X指向的節點是有紅黑兩色，或是X是根節點時，只需要簡單的對X進行一些改變就行了。要對除X節點外的其它節點進行操作時，必定是這樣的情況：X節點是雙層黑色，且X有父節點P。由知可知，X必然有兄弟節點W，而且這個W節點必定有兩個子節點。（因為這是原樹滿足紅黑條件要求而自然具備的。X為雙黑色，那麼P的另一個子節點以下一定要有至少兩層的節點，否則黑色高度不可能和X路徑一致）。所以我們就分析這些節點之間如何變形，把問題限制在比較小的範圍內解決。另一個前提是：X在一開始，肯定是樹底的葉節點或是NIL節點，所以在遞歸向上的過程中，每一步都保證下一步進行時，至少 X的子樹是滿足紅黑特性的。因此子樹的情況就可以認為是已經正確的了，這樣，分析就只限制在X節點，X的父節點P和X的兄弟節點W，以及W的兩個子節點中。
下面僅僅考慮X原本是黑色的情況即可。
在這種情況下，X此時應該具有雙重黑色，演算法的過程就是將這多出的一重黑色向上移動，直到遇到紅節點或者根節點。
接著往下分析， 會遇到4種情況，實際上是8種， 因為其中4種是相互對稱的，這可以通過判斷X是其父節點的右孩子還是左孩子來區分。下面我們以X是其父節點的左孩子的情況來分析這4種情況，實際上接下來的調整過程，就是要想方設法將經過X的所有路徑上的黑色節點個數增加1。
具體分為以下四種情況：（下面針對x是左兒子的情況討論，右兒子對稱）
Case1：X的兄弟W是紅色（想辦法將其變為黑色）
由於W是紅色的，因此其兒子節點和父節點必為黑色，只要將W和其父節點的顏色對換，在對