數論選講

一、容斥原理

1.什麼是容斥原理

在計數時，必須注意沒有重複，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有物件的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理 ——度娘

2.公式

(1).一般形式

(2).對於數字的形式

這個與莫比烏斯反演有一定的關係，考慮到難度與時間的原因，這裡先不做講解，但是我可以劇透一下，這個只考慮沒有重複質因子的數，然後分奇偶個質因子來考慮加減，一會在講尤拉函式的時候會有涉及。

例題一：bzoj2839

二、擴充套件歐幾里得演算法

1.裴蜀定理

若a,b是整數,且（a,b）=d，那麼對於任意的整數x,y,ax+by都一定是d的倍數，特別地，一定存在整數x,y，使ax+by=d成立。而擴充套件歐幾里得演算法就是用來求這樣一組x,y。

2.演算法原理

當b等於0的時候，a就是最後的gcd(a,b)，那麼我們很容易構造出一組x,y即為x=1,y=0,也就是1*a+0*b==a，剩下的我們想辦法通過這組解推出來。
設 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
則:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根據恆等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

3.程式碼

根據上面的推導，我們不難得到這樣的程式碼

int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

但是我們發現有x,y互換的過程，所以我們稍加改變，就可以得到一個更好看的寫法

int exGcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if 
(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int t=exGcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return t;
}

這個程式碼更加的好記，推薦背下來，雖然說不難推，但是考場上最好還是不要浪費時間在這個上QAQ，還有，千萬別亂改這個程式碼，曾經你們的學姐把y-=a/b*x寫成了x*a/b就錯了2333。
現在我們得到的是一組可行的解，我們可以對這個解做出一些調整，現在我們的式子是ax+by=(a,b)，那麼我們將x加b/(a,b)，將y減a/(a,b)等式顯然依然成立，而且這樣做可以得到所有的可行解。

三、尤拉函式

1.什麼是尤拉函式

尤拉函式Φ(n)代表小於n並且與n互質的數的個數。

2.尤拉函式的求法

尤拉函式可以用如下方法求得
Φ(n)=n∗∏p|n且p為質數(1−1p)
這個公式怎麼理解呢？
這是多個二項式乘起來的形式，也就是每項中我挑出來一個乘起來作為最後多項式的部分，那麼我們如果這項選1則代表不選這項，選−1p就是選這一個數，而且選奇數個減，選偶數個加，這不就是容斥原理嗎？我們用總集n減去是一個質因子倍數的數的個數加上是兩個的減去是三個的，這也用到了數字容斥原理的一個特點：只考慮質因子冪次為1的數，因為冪次不是1的集合一定不是某幾個集合的交，沒有必要考慮。

3.尤拉函式的性質

(1).尤拉函式是積性函式(這個性質在一會講線性篩的時候會做詳細的解釋)
(2).小於n與n互質的數的和為Φ(n)∗n/2(n=1的時候不滿足此性質)
證明：如果a與p互質，那麼p-a一定與p互質，則互質的數一定能兩兩組成一個p，證畢。
(3).n=∑p|nϕ(p)
證明：相當於列舉n的每一個因數，將n除以這個因數，和這個數互質的數的個數就是和n的gcd為這個因數的數的個數。

4.尤拉定理

當(a,p)==1時aΦ(p)≡1(modp)

5.擴充套件尤拉定理

gcd(a,m)>1，且b>Φ(m)，ab≡a(b%Φ(m)+Φ(m))(modm)
當b<Φ(m)時一般可以直接計算。

6.求尤拉函式的程式碼

long long phi(long long x)
{
    long long re=x;
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
    {
        if(x%i==0) re-=re/i;
        while(x%i==0) x/=i;
    }
    if(x!=1) re-=re/x;
    return re;
}

使用線性篩的話可以將求所有尤拉函式的時間優化到O(n),稍後再做講解。

例題二：bzoj4173

四、逆元

1.什麼是逆元？

逆元是在模意義下與1a等價的一個小於模數的整數，也就是說在模意義下除以一個數和乘以這個數是等價的。注意，只有當(a,p)==1的時候才有逆元存在，否則不存在逆元。

2.逆元的求法

(1).費馬小定理

當p為質數時有ap−1≡1(modp)
我們將等式兩邊同時除以一個p得到ap−2≡1a
所以當a,p互質的時候求a的逆元可以直接算ap−2
優點：程式碼簡單，只需一個快速冪
缺點：有侷限性，p必須是質數

(2).尤拉定理

當(a,p)==1時aΦ(p)≡1(modp)
由上面的費馬小定理，我們不難想到，a的逆元即為aΦ(p)−1
優點：沒有侷限性。
缺點：程式碼相對比較複雜。

(3).擴充套件歐幾里得演算法

由逆元的性質我們不難得到
a∗a−1≡1(modp)
我們將這個式子轉換一下，就得到了a∗a−1+p∗y=1
我們發現這剛好是(a,p)==1並且求一組可行解使得a∗x+p∗y==g