一、題目說明

給出一段長度為n的數列，要求從中找出連續的一段來使得總和最大。輸入包含兩行，第1行表示數列長度為N（N<=100 000），第2行包括N個整數來描述這個數列，每個整數的絕對值不超過1 000。輸出只有一個整數，為最大的連續段總和。

二、輸入輸出樣例

輸入1
5
1 -2 3 1 -4
輸出1
4

三、題目分析

注意：本題所有例項採用從同路徑下in.txt檔案輸入，使用C語言風格輸入輸出。

（一）窮舉法

分析

本題採用窮舉法即將所有可能的連續子序列分別求和取其最大值。

題解示例

#include <cstdio>

int main() {
    FILE *f = fopen("in.txt"
 
, "r");

    int n;
    fscanf(f, "%d", &n);
    int data[n + 5], i;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        fscanf(f, "%d", &data[i]);
    } 

    int begin, end, sum, max;
    for(begin = 0; begin < n; begin++) {
        for(end = n - 1; end >= begin; end--) {
            for(i = begin
 
; i <= end; i++) sum += data[i];
            if(max < sum) max = sum;
            sum = 0;
        }
    }

    printf("%d\n", max);
    return 0;
} 

注意

題解示例寫法中，有些時候會忘記將每次迴圈後sum值歸零，導致採用輸入示例1的資料輸出9（別問我為什麼會知道orz）。

（二）窮舉法的優化：預先求出從0到n的子序列和

分析

如果提前求出從0到n的子序列和，便可避免很多重複求和消耗時間的問題。把從0到n的子序列和儲存在長度大於n的陣列中，如果需要取某一子序列和，可表示為sum[end] - sum[begin]。

實現

#include <cstdio>
#include <cstring>

int main() {
    FILE *f = fopen("in.txt", "r");

    int n;
    fscanf(f, "%d", &n);
    int data[n + 5], i, sum[n + 5] = {0};
    for(i = 0; i < n; i++) {
        fscanf(f, "%d", &data[i]);
    } 

    int end;
    for(end = 0; end < n; end++) {
        for(i = 0; i <= end; i++) {
            sum[end] += data[i];
        }
    }

    int begin, sum1, max = 0;
    for(begin = 0; begin < n; begin++) {
        for(end = n - 1; end >= begin; end--) {
            sum1 = sum[end] - sum[begin];
            if(max < sum1) max = sum1;
            sum1 = 0;
        }
    }

    printf("%d\n", max);
    return 0;
} 

注意

（1）別忘了初始化sum陣列，而且不要用memset初始化int陣列。memset函式只能用於初始化char陣列（輸出結果沒記錯的話是幾百萬OTZ）；
（2）別忘了初始化max，不然會出現（一）中的尷尬情況。

（三）合理運用貪心思想

分析

我們可以得到以下結論：
（1）一個數加上一個正數或0，不小於這個數；
（2）一個數加上一個負數，一定小於這個數。
結合以上結論，我們可以取得以第n個元素為尾（end）的最大子序列和為：
（1）如果第n-1個元素的最大子序列和為負，那麼加上現在這個元素肯定不會大於現在這個元素，則取現在這個元素為第n個元素為尾的最大子序列和；
（2）如果第n-1個元素的最大子序列和為正或0，那麼加上現在這個元素肯定不會小於現在這個元素，則取前面的最大子序列和加上現在元素為第n個元素為尾的最大子序列和。

如果看完上面的文字仍然存在疑惑，我們不妨用一個例子說明：
現在有一家公司，公司之前的經濟狀況已知，現在每天都有人來談生意，可是每天來的人帶來的生意有會虧錢的，也有會賺錢的。
如果今天的生意虧錢，你的公司肯定會比之前虧一些。
如果今天的生意賺錢，你的公司肯定會比之前賺一些。
要是想知道連續幾天帶來生意能產生的最大效益（如果虧錢可以拒絕，但是這樣生意的連續也會停止），那麼截止今天，對於連續虧錢的生意，只虧（或賺）這一筆（回絕這一筆之前的連續最大收益的生意）肯定是效益最大的；對於連續賺錢的生意，把之前賺的算上（接受這一筆之前的連續最大收益的生意）肯定是效益最大的。

運用這種演算法，我們只需要寫一次迴圈（即時間複雜度由O(n²)減到O(n)），就能完成這個求最大的過程。這在競賽中是至關重要的（有的題目資料太多，運用前兩種演算法會超時）。

實現

#include <cstdio>
#include <cstring>

int main() {
    FILE *f = fopen("in.txt", "r");

    int n;
    fscanf(f, "%d", &n);
    int data[n + 5], i;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        fscanf(f, "%d", &data[i]);
    } 

    int sum = data[0], max = data[0];
    for(i = 1; i < n; i++) {
        if(sum >= 0) sum += data[i]; else sum = data[i];
        if(sum > max) max = sum;
    } 

    printf("%d\n", max);
    return 0;
} 

注意

本演算法主要的難點在於理解求最大的原理，實現上似乎沒有坑。

四、反思和總結

本題是結合貪心原則和合理運用數學技巧的典型例題，並且能夠反映出迴圈設計、陣列下標使用中的易錯問題，是值得研究的問題。
貪心演算法在以後的學習中會逐步接觸，現在沒有必要急於求成，積累基本演算法知識是現階段最要緊的內容。
（最後坑我最多的還是迴圈啊ORZ）

五、參考閱讀