一、Gibbs取樣概述

前面介紹的Metropolis-Hastings取樣為從指定分佈中進行取樣提供了一個統一的框架，但是取樣的效率依賴於指定的分佈的選擇，若是選擇的不好，會使得接受率比較低，大量的取樣被拒絕，影響到整體的收斂速度。

Gibbs取樣是Metropolis-Hastings取樣演算法的特殊形式，即找到一個已知的分佈，使得接受率α=1。這樣，每次的取樣都會被接受，可以提高MCMC的收斂速度。

二、Gibbs取樣演算法的流程

在這部分，先直接給出Gibbs取樣演算法的流程，對於Gibbs取樣演算法的有效性將在第三部分給出論述，Gibbs取樣演算法的具體流程如下所述：

初始化時間t

=1
設定u=(u1,u2,⋯,uN)的值，並初始化初始狀態Θ(t)=u
重複以下的過程：
- 令t=t+1
- 對每一維：i=1,2,⋯N
  - θ(t)1∼p(θ1∣θ(t−1)2,⋯,θ(t−1)N)
  - θ(t)2∼p(θ2∣θ(t)1,⋯,θ(t−1)N)
  - ⋯
  - θ(t)N−1∼p(θN−1∣θ(t)1,⋯,θ(t−1)N)
  - θ(t)N∼p(θN∣θ(t)1,⋯,θ(t)N−1)
直到t=T

Gibbs取樣有一個缺陷，必須知道條件分佈。

三、上述過程滿足細緻平穩條件

為簡單起見，我們假設所需取樣的分佈為一個二元分佈f(x,y)，假設兩個狀態為(x1,y1)和(x1,y2)。已知：

(x1,y1)⋅p(y2∣x1)=p(x1)⋅p(y1∣x1)⋅p(y2∣x1) p(x1,y2)⋅p(y1∣x1)=p(x1)⋅p(y2∣x1)⋅p(y1∣x1)

所以有：

p(x1,y1)⋅p(y2∣x1)=p(x1,y2)⋅p(y1∣x1)

由此可見，Gibbs取樣的過程是滿足細緻平穩條件的。這裡直接取p(y2∣

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