正交多項式族（勒讓德多項式跟切比雪夫多項式）理論

簡述

這裡顯示兩種，分別是，勒讓德多項式跟切比雪夫多項式

勒讓德多項式

區間是 $x \in [- 1, 1]$ ，權函式為 $ρ (x) \equiv 1$

P_{0} (x) = 1

P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{2} - 1)^{n}

得到勒讓德多項式的首項為 $\frac{(2 n)!}{2^{n} (n!)^{2}}$

所以首項係數為1的勒讓德多項式，就是

P_{n}^{*} (x) = \frac{P_{n} (x)}{\frac{(2 n)!}{2^{n} (n!)^{2}}}

即，

P_{n}^{*} (x) = \frac{n!}{(2 n)!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{2} - 1)^{n}

正交性：

\int_{- 1}^{1} P_{n} (x) P_{m} (x) d x

上式，當且僅當n=m時，非0，且值為

\frac{2}{2 n + 1}

奇偶性：

P_{n} (- x) = (- 1)^{n} P_{n} (x)

遞推性：

(n + 1) P_{n + 1} (x) = (2 n + 1) x P_{n} (x) - n P_{n - 1} (x)

在區間上有n個零點

切比雪夫多項式

區間是 $x \in [- 1, 1]$ ，權函式為 $ρ (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

T_{n} (x) = \cos (n \arccos (x))

遞推性：

T_{n + 1} (x) = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x)

正交性：
當n = m時有兩種情況，

n = m != 0:

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