一、二維情況

首先，給出如下的二元一次方程組：

我們初中就對上面的二元一次方程組進行過求解，求解很簡單。但是我們現在利用線性代數來表示這個式子，上式可以表示為：

我們這裡假設用小寫字母表示向量，大寫字母表示矩陣。上面可以二元一次方程組便轉化為求解x,y。下面我們從幾種不同的角度來求解上面的方程組：

1、從行的角度看，也就是畫出上面兩個方程的影象：

很明顯的可以看出方程的解是x=1,y=2。 2、從列的角度看，方程組可以表現為列的線性組合：

令向量a=[2 -1]'，b=[-1 2]'，c=[0 3]'，則問題變為找到適當的x,y將向量a b 進行線性組合得到向量c。同樣我們可以通過作圖求解：

從上圖可以看到(2,-1)+2(-1,2)=(0,3)，從而得到x=1,y=2。

二、三維情況

上面的問題都是在二維平面上進行求解的，下面來看看三維下的情況：首先，給出三元一次方程組：

同樣可以得到其矩陣的表示形式：

還是按照上面的方法分析： 1、從行的角度看，也就是畫出上面三個方程的影象（在這裡變成了三維空間的平面）：

上圖的matlab程式碼為：

figure
t=-10:.1:10;
[x,z]=meshgrid(t);
y=2*x;
mesh(x,y,z);
hold on
y=(x+z-1)/2;
mesh(x,y,z)
hold on
y=-(4-4*z)/3;
mesh(x,y,z)
 

然後人工進行一些修正即可 從圖中可以看出，三個平面交於一點(0 0 1)也就是方程組的解：x=0 y=0 z=1。 2、同樣從列的角度考慮該問題：
不用通過計算或作圖，我們從上式就可以輕易得到x=y=0 z=1，這比上面一種方法要簡單得多。 畫出上面四個列向量的圖（其中後兩個列向量相同（0 -1 4）'）:

上圖的matlab程式碼為：

a=[2 -1 0];
b=[-1 2 3];
c=[0 -1 4];
quiver3(0,0,0,a(1),a(2),a(3),'color','r')
hold on
quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3),'color','g')
hold on
quiver3(0,0,0,c(1),c(2),c(3),'color','b')
 

然後人工標上箭頭，當然也可以通過命令標上箭頭。

作者：nineheadedbird