矩陣的四個基本子空間

1、零空間

        矩陣A的零空間就Ax=0的解的集合。假設矩陣的秩為r，矩陣為m*n的矩陣，則零空間的維數為n-r。因為秩為r，則自由變數的個數為n-r，有幾個自由變數，零空間就可以表示層幾個特解的線性組合，也即是零空間的維數為自由變數的個數。

2、列空間

       矩陣A的列空間就是矩陣A中各列的線性組合。假設矩陣的秩為r，矩陣為m*n的矩陣，則列空間可以表示為r個主元的線性組合，即零空間的維數為r。

3、行空間

        線上性代數中，我們一般習慣將矩陣看出是一組列向量的組合，matlab中矩陣的儲存是按列儲存的(c中不是)。因此，我們可以將矩陣A進行轉置後來討論行空間和左零空間。假設轉置後的矩陣為AT，則A的行空間就是AT的列空間，A的左零空間為AT的零空間。注意這裡AT為n*m的矩陣。則此時行空間的維數為r。

4、左零空間

       左零空間是ATx=0的解的集合。由於秩為r，則自由變數的個數為m-r，即左零空間的維數為m-r。
上面都是一些定理結果，下面來舉例說明上述定理：

假設矩陣為A:

經過高斯消元得到行最簡式R:

於是我們知道矩陣A的秩為2，則其列空間，行空間的維數都是2，零空間的維數為4-2=2，左零空間的維數為3-2=1。 很明顯，矩陣A的列中，前兩列是線性無關的，則其列空間可以由前兩列來表示。同理，前兩行是線性無關的，其行空間可以有前兩行來表示。由於只有兩個主元，則自由變數個數為4-2=2，所以零空間的特解有兩個，零空間可以由這兩個特解的線性組合來表示。由於左零空間可以看成是ATx=0的線性組合，則有：
我們知道初等行變換不改變矩陣的行空間，但可能改變其列空間(因為行變換是行向量的線性組合)，並且消元過程可以表示如下：

我們可以看出，初等矩陣E的第三行與A相乘得到的是0向量即：

對比下式：

可以求得x的值：

這個x就是左零空間的基，因此左零空間的維數為3-2=1。

作者：nineheadedbird