矩陣A的零空間就Ax=0的解的集合。 零空間的求法：對矩陣A進行消元求得主變數和自由變數；給自由變數賦值得到特解；對特解進行線性組合得到零空間。

假設矩陣如下：

對矩陣A進行高斯消元得到上三角矩陣U，繼續化簡得到最簡矩陣R：

由於方程Ax=0的右側是零向量，所以只對矩陣A進行消元不會影響解,因此不需要增廣矩陣，所以有：

從上面的高斯消元的結果可以看出，矩陣A的秩為2，其中第1，3列為主元列，2，4列為自由列，對應於方程主來說，形式轉變如下：

從上式可以看出，x2,x4是自由變數，我們可以隨意賦值，x2=0,x4=1；x2=1,x4=0可以分別得到兩個特解（幾個自由變數就有幾個特解）：

然後我們將兩組特解進行線性組合就得到了矩陣A的零空間：

上面我們從數值解的角度描述了矩陣零空間的求法，下面從公式角度分析： 上面我們經過消元（行變換，不改變行空間和零空間，只改變列空間）得到了最簡形式R。我們將R經過列變換得到如下矩陣：

我們可以對方程式作如下變形：

我們之所以進行上述變換，是為了有更好的表示形式（不進行列變換也行，但是要記住哪一列是單位矩陣I中的，哪一列是自由變數矩陣F中的）：

這樣我們代入方程式可以得到零空間矩陣：

從上面的推導可以看出，得到的零空間矩陣的每一列就是我們前面的特解(注意要變換順序！交換第2，3行,結果便和前面相同)。因此，我們可以從通過消元法得到最簡式R，然後就可以直接得到零空間矩陣，則零空間就是零空間矩陣各列向量的線性組合，而不需要像前面那樣先給x2,x4賦值，然後回代到方程中得到兩個特解，從而得到矩陣的零空間。 下面再舉一例：

由於R本來就具有很好的形式，就不用進行列變換了：

於是通過解方程得到零空間矩陣：

注：最簡矩陣R和零空間矩陣x在MATLAB中可以分別用命令rref(A)，null(A,'r')得到

作者：nineheadedbird