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條件概率

首先，理解這兩個公式的前提是理解條件概率，因此先複習條件概率。
P(A|B)=P(AB)P(B)$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$

那麼由條件概率出發，看一下變形出來的乘法公式：
P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=P(B)⋅P(A|B)$P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

理解上面公式比較好的方法是看韋恩圖。像瞭解可以先百度。

事件的獨立性和概率的乘法定理

有兩個事件A和B，若P(A)=P(A|B)，即B的發生與否對A發生的可能性毫無影響，則稱A,B兩事件獨立。

若干個獨立事件A1，A1，……An之積的概率，等於各事件概率的乘積

P(A1…An)=P(A1)…P(An)

它被稱為概率的乘法定理，其重要條件是兩事件相互獨立。相加是互斥，相乘是獨立。

全概率

景點案例：
一個村子與三個小偷，小偷偷村子的事件兩兩互斥，求村子被偷的概率。
解釋：假設這三個小偷編號為A1,A2,A2$A1,A2,A2$;
偷東西的事件標記為B$B$,不偷的話標記為：B¯¯¯¯$\overline{B}$
那麼被偷的概率就是：要麼是A1$A1$，要麼是A2$A2$，要麼是A3$A3$，
如果是A1$A1$, 概率是什麼呢？首先得是A1$A1$,其次是村子被偷，也即是兩個事件都滿足，所以是P(A1B)$P(A1B)$
同理，可以得到P(A2B),P(A3B)$P(A2B),P(A$

3B)
又因這三個小偷兩兩互斥，表示不會同時去偷。所以被偷的概率是：
P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)$P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)$
當然按照條件概率或者乘法公式展開：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)$P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)$（*）
P(Ai),P(B|Ai)$P(A_i),P(B|A_i)$ 是已知的
問：是不是有想展開為：
P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)$P(B)=P(B)P(A1|$

B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)
P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的衝動？

當然這個式子是沒錯的，但是體現不了這個問題的解法：分階段。

（*）式子體現的是問題分為兩個階段：
1）選人，分割問題
2）計算分割的子問題的條件概率

對應的這裡來便是：
1）選小偷，誰去偷
2）選定的小偷作為條件，那麼他去偷的條件概率是什麼

所以將問題拆解為階段的問題便是全概率公式針對的問題。

貝葉斯公式

貝葉斯公式有意思極了，簡單說就是逆全概公式。

前面是問總體看來被偷的概率是多少，現在是知道了總體被偷了這件事，概率並不知道，問你個更有意思的問題，像是偵探斷案：是哪個小偷的偷的，計算每個小偷偷的概率。
這個特性用在機器學習，人工智慧領域相當好用。
也就是求：P(Ai|B)=P(AiB)P(B)$P(A_i|B)=\frac{P(A_{i}B)}{P(B)}$
Ai:小偷i幹的；B:村子被偷了$A_i:小偷i幹的；B:村子被偷了$
首先是一個淳樸的條件概率的展開。
分母裡出現了P(B)$P(B)$,剛剛討論的全概公式拿來用一用！
而P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)$P(A_{i}B)=P(A_i)\cdot P(B|A_i)$

對應到上面的例子就鮮活一些：村子被偷了，求Ai$A_i$偷的概率。
自然現在條件是

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