最優化問題有三種形式：（1）無約束優化問題；（2）有等式約束的優化問題；（3）有不等式約束的優化問題。這部分是解決第三種最優化問題，即有不等式約束的優化問題。

一、原始問題：極小極大問題

假設f(x),ci(x),hj(x)是定義在Rn上的連續可微函式，稱如下的最優化問題為原始問題：

minx∈Rnf(x)s.t.ci(x)hj(x)≤0,=0,i=1,2,3…,ki=1,2,3…,l(1)
minx∈Rnf(x) 的意義是在滿足所有約束條件的x中找出使f(x)最小的x，f(x):Rn→R 稱為目標函式。區分minx∈Rnf(x) 最優值和解，最優值是f(x)可取的最小值，解是當f

(x)取最小值時x的值。
引入拉格朗日函式，目的是將有約束的問題轉化成無約束問題：
L(x,α,β)=f(x)+∑i=1kαici(x)+∑j=1lβjhj(x)
上式中，x=(x(1),x(2),⋯,x(n))T∈Rn，αi,βi是拉格朗日乘子。αi≥0，這是因為構造L(x,α,β)的目的是使L(x,α,β)≤f(x)，而ci(x)≤0,hj(x)=0，故必須限制αi≥0。
考慮x的函式：
θp(x)=maxα,β:αi≥0L(x,α,β)
假設給定某個x，如果x違反原始問題(1)的約束條件，即存在某個i使得ci(x)>0或者存在某個i使得hj(x)≠0，那麼就有：
θp(x)=max

α,β:αi≥0[αici(x)+∑j=1lβj

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