經典揹包問題 01揹包+完全揹包+多重揹包
01 揹包
有n 種不同的物品，每個物品有兩個屬性，size 體積，value 價值，現在給一個容量為 w 的揹包，問最多可帶走多少價值的物品。
int f[w+1]; //f[x] 表示揹包容量為x 時的最大價值
for (int i=0; i<n; i++)
for (int j=w; j>=size[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);
完全揹包
如果物品不計件數，就是每個物品不只一件的話，稍微改下即可
for (int i=0; i<n; i++) for (int j=size[i]; j<=w; j++) f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);
f[w] 即為所求
初始化分兩種情況：
1、如果揹包要求正好裝滿則初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF;
2、如果不需要正好裝滿 f[0~v] = 0;
舉例：
01揹包
V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}
（1）揹包不一定裝滿
計算順序是：從右往左，自上而下：因為每個物品只能放一次，前面的體積小的會影響體積大的
（2）揹包剛好裝滿
計算順序是：從右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示負無窮
V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}
（1）揹包不一定裝滿
計算順序是：從左往右，自上而下： 每個物品可以放多次，前面的會影響後面的
（2）揹包剛好裝滿
計算順序是：從左往右，自上而下。注意初始值，其中-inf表示負無窮
多重揹包問題要求很簡單，就是每件物品給出確定的件數，求可得到的最大價值
多重揹包轉換成 01 揹包問題就是多了個初始化，把它的件數C 用二進位制分解成若干個件數的集合，這裡面數字可以組合成任意小於等於C的件數，而且不會重複，之所以叫二進位制分解，是因為這樣分解可以用數字的二進位制形式來解釋
比如：7的二進位制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 這三個數可以
15 = 1111 可分解成 0001 0010 0100 1000 四個數字
如果13 = 1101 則分解為 0001 0010 0100 0110 前三個數字可以組合成 7以內任意一個數，即1、2、4可以組合為1——7內所有的數，加上 0110 = 6 可以組合成任意一個大於6 小於等於13的數，比如12，可以讓前面貢獻6且後面也貢獻6就行了。雖然有重複但總是能把 13 以內所有的數都考慮到了，基於這種思想去把多件物品轉換為，多種一件物品，就可用01 揹包求解了。
看程式碼：
int n; //輸入有多少種物品
int c; //每種物品有多少件
int v; //每種物品的價值
int s; //每種物品的尺寸
int count = 0; //分解後可得到多少種物品
int value[MAX]; //用來儲存分解後的物品價值
int size[MAX]; //用來儲存分解後物品體積
scanf("%d", &n); //先輸入有多少種物品，接下來對每種物品進行分解
while (n--) //接下來輸入n中這個物品
{
scanf("%d%d%d", &c, &s, &v); //輸入每種物品的數目和價值
for (int k=1; k<=c; k<<=1) //<<右移 相當於乘二
{
value[count] = k*v;
size[count++] = k*s;
c -= k;
}
if (c > 0)
{
value[count] = c*v;
size[count++] = c*s;
}
}
定理：一個正整數n可以被分解成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1（k是滿足n-2^k+1>0的最大整數）的形式，且1～n之內的所有整數均可以唯一表示成1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中某幾個數的和的形式。
證明如下：
（1） 數列1,2,4,…,2^(k-1),n-2^k+1中所有元素的和為n，所以若干元素的和的範圍為：[1, n]；
（2）如果正整數t<= 2^k – 1,則t一定能用1,2,4,…,2^(k-1)中某幾個數的和表示，這個很容易證明：我們把t的二進位制表示寫出來，很明顯，t可以表示成n=a0*2^0+a1*2^1+…+ak*2^（k-1），其中ak=0或者1，表示t的第ak位二進位制數為0或者1.
（3）如果t>=2^k,設s=n-2^k+1，則t-s<=2^k-1，因而t-s可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)中某幾個數的和的形式，進而t可以表示成1,2,4,…,2^(k-1)，s中某幾個數的和（加數中一定含有s）的形式。
（證畢！）
現在用count 代替 n 就和01 揹包問題完全一樣了
杭電2191題解：此為多重揹包用01和完全揹包：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int dp[102];
int p[102],h[102],c[102];
int n,m;
void comback(int v,int w)//經費，重量。完全揹包；
{
for(int i=v; i<=n; i++)
if(dp[i]<dp[i-v]+w)
dp[i]=dp[i-v]+w;
}
void oneback(int v,int w)//經費，重量；01揹包；
{
for(int i=n; i>=v; i--)
if(dp[i]<dp[i-v]+w)
dp[i]=dp[i-v]+w;
}
int main()
{
int ncase,i,j,k;
scanf("%d",&ncase);
while(ncase--)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));
scanf("%d%d",&n,&m);//經費，種類；
for(i=1; i<=m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&p[i],&h[i],&c[i]);//價值，重量，數量;
if(p[i]*c[i]>=n) comback(p[i],h[i]);
else
{
for(j=1; j<c[i]; j<<1)
{
oneback(j*p[i],j*h[i]);
c[i]=c[i]-j;
}
oneback(p[i]*c[i],h[i]*c[i]);
}
}
printf("%d\n",dp[n]);
}
return 0;
}只是用01揹包，用二進位制優化：
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int nCase,Limit,nKind,i,j,k, v[111],w[111],c[111],dp[111];
//v[]存價值，w[]存尺寸，c[]存件數
//在本題中，價值是米的重量，尺寸是米的價格
int count,Value[1111],size[1111];
//count儲存分解完後的物品總數
//Value儲存分解完後每件物品的價值
//size儲存分解完後每件物品的尺寸
cin>>nCase;
while(nCase--)
{
count=0;
cin>>Limit>>nKind;
for(i=0; i<nKind; i++)
{
cin>>w[i]>>v[i]>>c[i];
//對該種類的c[i]件物品進行二進位制分解
for(j=1; j<=c[i]; j<<=1)
{
//<<左移1位，相當於乘2
Value[count]=j*v[i];
size[count++]=j*w[i];
c[i]-=j;
}
if(c[i]>0)
{
Value[count]=c[i]*v[i];
size[count++]=c[i]*w[i];
}
}
//經過上面對每一種物品的分解，
//現在Value[]存的就是分解後的物品價值
//size[]存的就是分解後的物品尺寸
//count就相當於原來的n
//下面就直接用01揹包演算法來解
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0; i<count; i++)
for(j=Limit; j>=size[i]; j--)
if(dp[j]<dp[j-size[i]]+Value[i])
dp[j]=dp[j-size[i]]+Value[i];
cout<<dp[Limit]<<endl;
}
return 0;
}未優化的：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int Value[105];
int Cost[105];
int Bag[105];
int dp[105];
int main()
{
int C,m,n;
scanf("%d",&C);
while(C--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = 1; i <= m; i++)
scanf("%d%d%d",&Cost[i],&Value[i],&Bag[i]);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<= m; i++)
for(int j=1; j<=Bag[i]; j++)
for(int k=n; k>=Cost[i]; k--)
dp[k]=max(dp[k], dp[k-Cost[i]]+Value[i]);
printf("%d\n",dp[n]);
}
return 0;
}