定義

給一個連通圖，求一條每條邊恰好走一次的路徑，就叫尤拉路徑，如果要求回到原點，就叫歐拉回路。（也叫一筆畫問題）

推論

無向圖

把度數為偶數的點叫偶點，度數為奇數的點叫奇點。

• 如果一個圖存在尤拉路徑，則奇點的個數一定為0個或2個。
  白話證明：
  
  • 奇點個數為0個時，所有點都為偶點。
    則可以使得每個點的入邊數量與出邊數量相等，一定存在一個環。
    走完這個環後，每個點剩餘的邊一定是偶數，說明從這個點出發一定可以走出一個環再回到這個點，可以將這個新的環與原來的環拼接，形成新的路徑，從而遍歷所有邊。
  • 如果奇點個數為2個，將這兩個邊連線，形成↑上面的樣子，保證最後走新連的邊，就可以完成尤拉路徑。
• 只有奇點為0個的圖存在歐拉回路，證明同上。
• 奇點有2個時，必然一個是起點，一個是終點。

有向圖

• 只有每個點的出度等於入度時才存在歐拉回路
  （迴路必然有進有出，肯定要相等啊，，，）
• 如果存在一個點的入度比出度大1，另一個點出度比入度大1，則存在尤拉路徑。（證明通無向圖）

求法

消圈法

如同前面無向圖歐拉回路證明一樣，找一個圈，中途把其它的圈並上來，併成一條路徑，有遞迴版本和迴圈版本。
此演算法只能計算確定有尤拉路徑的圖

程式碼

遞迴

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace
 
 std;
const int MAXN=505,MAXE=1100;
int E[MAXN][MAXN];
int ans[MAXE],cnt;
int deg[MAXN],n,m,S,T;
void euler(int id)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(E[id][i]>0)
        {
            E[id][i]--;
            E[i][id]--;
            euler(i);
        }
    ans[++cnt]=id;
}
int main()
{
    int
 
 a,b;
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        E[a][b]++;
        E[b][a]++;
        deg[a]++;
        deg[b]++;
        n=max(n,a);
        n=max(n,b);
    }
    S=0;T=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(deg[i]&1)
        {
            if(S)
            {
                T=i;
                break;
            }
            S=i;
        }
    if(S)
        euler(S);
    else
        euler(1);
    for(int i=cnt;i>=1;i--)
        printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

迴圈

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=505,MAXE=1100;
int E[MAXN][MAXN];
int ans[MAXE],cnt;
int deg[MAXN],n,m;
int stack[MAXE],top;
void find_circle(int S)
{
    int x=S;
    bool flag=true;
    while(flag)
    {
        stack[++top]=x;
        flag=false;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(E[x][i]>0)
            {
                E[x][i]--;
                E[i][x]--;
                x=i;
                flag=true;
                break;
            }
    }
    if(stack[top]==S)
        top--;
}
void euler(int S)
{
    find_circle(S);
    while(top)
    {
        ans[++cnt]=stack[top];
        top--;
        find_circle(stack[top+1]);
    }
}
int main()
{
    int a,b,S,T;
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        E[a][b]++;
        E[b][a]++;
        deg[a]++;
        deg[b]++;
        n=max(n,a);
        n=max(n,b);
    }
    S=0;T=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(deg[i]&1)
        {
            if(S)
            {
                T=i;
                break;
            }
            S=i;
        }
    if(S)
        euler(S);
    else
        euler(1);
    for(int i=cnt;i>=1;i--)
        printf("%d\n",ans[i]);
    if(!S)
        printf("1\n");
    return 0;
}