【Derivation】維納—辛欽公式證明

Provement of Winner-Khintchine formula
Winner-Khintchine formula（維納—辛欽公式）：

||   **維納-辛欽定理，又稱維納-辛欽-愛因斯坦定理或辛欽-柯爾莫哥洛夫定理。**
||   **該定理指出：寬平穩隨機過程的功率譜密度是其自相關函式的傅立葉變換。

維納-辛欽定理證明
- 維納-辛欽定理證明
  維納-辛欽定理證明
- 平穩隨機訊號的功率譜密度是由確定訊號的能量譜密度及功率譜密度引申來的。
  如果訊號s(t)不滿足∫∞−∞s(t)2dt<∞ ，但是滿足
  P=limT→+∞1Ts2(t)dt<∞
  ——稱為功率訊號。
  對於功率訊號，以下關係成立：
  首先定義s
  
  T(t)={s(t)|t|≥T20|t|≤T2
  因此，訊號的功率
  p=limT→+∞1T∫T2−T2s2T(t)dt=limT→+∞1T12π∫T2−T2s2T(t)dt=limT→+∞1T12π∫T2−T2|ST(w)|2dw(ParsevalTheorem)
  其中，ST(w)=∫∞−∞sT(t)e−jwtdt
  最後可得P=12π∫∞−∞limT→+∞|ST(w)|2Tdt
  定義P(w)=limT→+∞|ST(w)|2T為功率訊號%S(t)的功率譜密度。
  對於平穩隨機訊號{x(t)},它的每一個樣本x(k)(t),一般不滿足能量訊號的要求，但滿足功率訊號的要求，因此以下關係成立：X
  
  (k)T(w)=limT→+∞∫T2−T2xkT(t)ejwtdt
  其中x(k)T(t)={x(k)(t)|t|≤T20|t|>T2
  樣本
  
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