Dice

題目描述

題目傳送門 一個骰子有 $m$ 面，現在要求擲出如下情形的期望次數：

• 連續 $n$ 次結果都相同
• 連續 $n$ 次結果都不同

資料範圍：

$n \le m \le 10^6$

題解

沒啥好說的= =就推推公式

問題1

$f(0)=1+f(1)\\ f(i)=1+\frac{1}{m}f(i+1)+\frac{m-1}{m}f(1)\\ =\frac1m+\frac1mf(i+1)+(1-\frac1m)f(0)\quad (i=0,1,...,n-1)\\ f(n)=0$

不動點法： $x=\frac1m+(1-\frac1m)f(0)+\frac1mx\\ x=f(0)-\frac1{1-m}\\ g(i)=f(i)-f(0)+\frac1{1-m}\\ g(i)=\frac1mg(i+1)\\ g(0)=\frac1{m^{n-1}}g(n-1)\\ \frac1{1-m}=\frac1{m^{n-1}}(f(n-1)-f(0)+\frac1{1-m})\\$

問題2

首先，錯位相減，消除字首和： $f(i)=1+\frac{m-i}{m}f(i+1)+\sum_{j=1}^{i}\frac{1}{m}f(j)\\ f(i-1)=1+\frac{m-i+1}{m}f(i)+\sum_{j=1}^{i-1}\frac{1}{m}f(j)\\$ 發現配出了差分的式子： $f(i)-f(i-1)=\frac{m-i}{m}f(i+1)-\frac{m-i+1}{m}f(i)+\frac{f(i)}{m}\\ =\frac{m-i}{m}[f(i+1)-f(i)]\\$ 再利用差分的字首和求出答案： $a_i=f(i+1)-f(i)\\ a_0=f(0)-f(1)=1\\ a_i=\frac{m^i}{\prod_{j=1}^{i}(m-j)}=\frac{m^i(m-i-1)!}{(m-1)!}\\ f(0)-f(n)=f(0)=\sum_{i=0}^{n-1}a_i$