「JLOI2015」有意義的字符串

題意

給你 \(b, d, n\) 求
\[ [(\frac{b + \sqrt d}2)^n] \mod 7528443412579576937 \]
\(0 < b^2 \le d < (b + 1)^2 \le 10^{18}, n \le 10^{18}\) 且 \(b \bmod 2 = 1, d \bmod 4 = 1\)

題解

我們把形式如果湊成
\[ f(n) = (\frac{b + \sqrt d}2)^n + (\frac{b - \sqrt d} 2)^n \]
不難發現這是一個二階常系數線性遞推式的通項公式。

也就是有
\[ f(n) = c_1f(n - 1) + c_2f(n - 2) \]

但我們要求得答案是
\[ g(n) = [f(n) - (\frac{b - \sqrt d}2)^n] \]
不難發現，當 \(b \not = d^2\) 且 \(n > 2, n \bmod 2 = 0\) 的時候答案會少 \(1\) 。（打表發現的QAQ）

用矩陣快速冪處理即可，模數很垃圾開個 __int128 就好了，復雜度是 \(O(\log n)\) 的。

代碼

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl

using namespace std;

using ll = long long;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("2106.in", "r", stdin);
    freopen ("2106.out", "w", stdout);
#endif
}

const ll Mod = 7528443412579576937;

struct Matrix {

    ll a[2][2];

    void Init() { Set(a, 0); }

    void Unit() { Rep (i, 2) Rep (j, 2) a[i][j] = (i == j); }

    inline Matrix friend operator * (const Matrix &lhs, const Matrix &rhs) {
        Matrix res; res.Init();
        Rep (i, 2) Rep (k, 2) Rep (j, 2)
            res.a[i][j] = (res.a[i][j] + (__int128)(lhs.a[i][k]) * rhs.a[k][j]) % Mod;
        return res;
    }

};

ll b, d, n;

Matrix fpm(Matrix x, ll power) {
    Matrix res; res.Unit();
    for (; power; power >>= 1, x = x * x)
        if (power & 1) res = res * x;
    return res;
}

int main () {

    File();

    cin >> b >> d >> n;

    if (n == 0) return puts("1"), 0;

    ll c1 = b, c2 = (d - b * b) / 4;

    Matrix Base = (Matrix) {c1, 0, (ll)((__int128(c1) * c1 + c2 * 2) % Mod), 0}, trans = (Matrix) {0, 1, c2, c1};

    if (n == 1) return printf ("%lld\n", Base.a[0][0]), 0;
    if (n == 2) return printf ("%lld\n", Base.a[1][0]), 0;

    Base = fpm(trans, n - 2) * Base;
    cout << Base.a[1][0] - ((n & 1) || (d == b * b) ? 0 : 1) << endl;

    return 0;

}
 

「JLOI2015」城池攻占

原來寫過 題解 ，就不再說了。。

「JLOI2015」裝備購買

題意

有 \(n\) 個物品，每個物品有代價 \(c_i\) ，和 \(m\) 個屬性，用向量 \(\mathbf{z_i} = (a_1, \dots, a_m)\) 表示。

你要選出盡量多的物品，使得代價盡量小，且使得任意一個物品不能被其他任意的幾個物品的線性組合表示出來。

\(1 \le n, m \le 500; 0 \le a_j \le 1000\)

題解

隨意開開腦洞。

不難發現就是求盡量多的線性無關變量。

那麽我們考慮把所有的物品按權值從小到大依次插入線性基就行了。

復雜度是 \(O(nm^2)\) 的。至於除法，可以考慮模意義下的，不用考慮精度了。

代碼

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for (register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for (register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Rep(i, r) for (register int i = (0), i##end = (int)(r); i < i##end; ++i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl

using namespace std;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return b > a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("2108.in", "r", stdin);
    freopen ("2108.out", "w", stdout);
#endif
}

const int Mod = 998244353;

inline int fpm(int x, int power) {
    int res = 1;
    for (; power; power >>= 1, x = 1ll * x * x % Mod)
        if (power & 1) res = 1ll * res * x % Mod;
    return res;
}

const int N = 510;

int n, m;

struct Array {
    int a[N], cost;
} T[N], Base[N];

int main () {

    File();

    n = read(); m = read();

    For (i, 1, n) For (j, 1, m) T[i].a[j] = read();
    For (i, 1, n) T[i].cost = read();

    sort(T + 1, T + n + 1, [&](Array lhs, Array rhs) { return lhs.cost < rhs.cost; });

    int ans1 = 0, ans2 = 0;

    For (i, 1, n) {
        bool flag = false;
        For (j, 1, m) {
            if (T[i].a[j]) {
                if (!Base[j].a[j]) {
                    flag = true; Base[j] = T[i]; break;
                }
                else {
                    int coef = 1ll * fpm(Base[j].a[j], Mod - 2) * T[i].a[j] % Mod;
                    For (k, j, m)
                        T[i].a[k] = (T[i].a[k] - 1ll * Base[j].a[k] * coef) % Mod;
                }
            }
        }
        if (flag) ++ ans1, ans2 += T[i].cost;
    }

    printf ("%d %d\n", ans1, ans2);

    return 0;

}

JLOI2015 DAY1 簡要題解