石子合併（一）(傳送門)
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難度：3
描述
有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的數量。現要將N堆石子併成為一堆。合併的過程只能每次將相鄰的兩堆石子堆成一堆，每次合併花費的代價為這兩堆石子的和，經過N-1次合併後成為一堆。求出總的代價最小值。
輸入
有多組測試資料，輸入到檔案結束。
每組測試資料第一行有一個整數n，表示有n堆石子。
接下來的一行有n（0< n <200）個數，分別表示這n堆石子的數目，用空格隔開
輸出
輸出總代價的最小值，佔單獨的一行
樣例輸入
3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18
樣例輸出

PS: 區間dp, 先找長度為2的最優解，再找長度為3的最優解，直到長度為n.
狀態轉移方程為: dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]+a[i+1]+…+a[j]);
其中，dp[i][j] 代表區間[i,j]合併所花費的最小代價。
時間複雜度: O(n^3)

#include<iostream>
#include<cstring>
#define Maxn 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int dp[1004][1004];
int main()
{
    int
 
 n;
    int a[1004];
    int sum[1004];
    while(cin>>n)
    {
        memset(sum, 0, sizeof sum);
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        cin>>a[0]; sum[0] = a[0];
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            cin>>a[i];
            sum[i] = sum[i-1] + a[i];
        }
        for
 
(int len = 1; len < n; len++)
        {//列舉區間長度
            for(int i = 0; i + len < n; i++)
            {//列舉開始位置
                int j = i + len;
                int temp;
                if(i == 0)temp = sum[j];
                else temp = sum[j] - sum[i-1];
                dp[i][j] = Maxn;
                for(int k = i; k < j; k++)
                {//列舉分割點
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + temp);
                }
            }
        }
        cout<<dp[0][n-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

這道題可以使用四邊形不等式優化，將時間複雜度降低為O(n^2). 設d為區間[i,j]最優分割點，即d = div[i][j]。 那麼 div[i][j−1]<=d<=div[i+1][j]$div[i][j-1]<=d<=div[i+1][j]$ .

#include<iostream>
#include<cstring>
#define Maxn 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int dp[1004][1004];
int div[1004][1004];
int main()
{
    int n;
    int a[1004];
    int sum[1004];
    while(cin>>n)
    {
        memset(sum, 0, sizeof sum);
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        memset(div, 0, sizeof div);
        cin>>a[0]; sum[0] = a[0];
        for(int i = 1; i < n; i++)
        {
            cin>>a[i];
            sum[i] = sum[i-1] + a[i];
        }
        for(int i = 0; i < n - 1; i++)
        {//先計算長度為2的分割點
            dp[i][i+1] = a[i]+a[i+1];
            div[i][i+1] = i;
        }
        for(int len = 2; len < n; len++)
        {//列舉區間長度
            for(int i = 0; i + len < n; i++)
            {//列舉開始位置
                int j = i + len;
                int temp;
                if(i == 0)temp = sum[j];
                else temp = sum[j] - sum[i-1];
                dp[i][j] = Maxn;
                for(int k = div[i][j-1]; k <= div[i+1][j]; k++)
                {//列舉分割點
                    if(dp[i][j] > dp[i][k] + dp[k+1][j] + temp)
                    {
                        div[i][j] = k;//更新分割點
                        dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k+1][j] + temp;
                    }
                }
            }
        }
        cout<<dp[0][n-1]<<endl;
    }
    return 0;
}