先擺公式，再說推導。

求二元函式z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的極值。

(1)作Lagrange函式

F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y);

(2)求F(x,y,λ)的駐點(x0,y0,λ0)

FxFyFλ=fx(x,y)+λ⋅φx(x,y)=0;=fy(x,y)+λ⋅φy(x,y)=0;=φ(x,y)=0

(3)(x0,y0)便是可能的條件極值點

拉格朗日乘數法所得的極點會包含原問題的所有極值點，但並不保證每個極值點都是原問題的極值點。(維基百科）

例如，目標函式:z=xy，約束條件：x+y=1

解： 作Lagrange函式

F(x,y,λ)=xy+λ(x

+y−1)

求F的駐點：

FxFyFλ⟹=y+λ=0=x+λ=0=x+y−1=0x=12;y=12;λ=−12

公式推導

條件極值：在一定約束條件下（一般為方程）的極值就稱為條件極值。

條件極值的幾何解釋：

約束條件φ(x,y)=0是指，在曲線φ(x,y)上取一點，使得f(x,y)有極值（由圖可知為極大值）

條件極值的必要條件：

函式z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0，下的極值的必要條件是什麼？

先看一個比較直觀的圖

圖中黑色曲線為z=f(x,y)的等值線，紅色曲線為約束條件φ(x,y)=0，那麼函式f(x,y)在哪裡取得條件最大值？

推導：

設z0=f(x0,y0)是z

=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的條件極值。設y=y(x)是約束條件φ(x,y)=0所確定的隱函式。

則：z=f(x,y(x))此時就變成了一個一元函式，且在x=x0處取得極值。

(1)由一元函式極值的必要條件可知：（若f(x)在x=x0處取得極值，且f′(x0)存在，則有f′(x0)=0）

所以有：

dz

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