問題：函數f(x,y,z)在 g(x,y,z)=0 的約束下取極值（最大或最小)

f(x,y,z)=c c取定義域中的任意值時形成空間中一系列曲面 S_f，這些曲面互相平行（不允許相交--等位面|線的定義）， g(x,y,z)=0是空間中的曲面S_g，因為x,y,z要取S_g上的點，所以只有那些 交於S_g或者與S_g相切函數f(x,y,z)的等位面S_f與 S_g形成的交線或者切點（也可能是一塊重疊的區域）才可取。

1.考慮某一交於S_g的面S_f_1 形成的交線C1，那麽在f(x,y,z)增加方向 即 grad f 方向或 -grad f方向 很小的距離內必定還有其他S_f_x與S_g形成的交線C2，C1必需不相交於C2，

2.考慮某一切於S_g的面S_f_2 取切點為P (可以能在S上有一塊或多塊區域重疊 指 f =c與 g=0 ) , 那麽在f(x,y,z)增加方向 即 grad f 方向或 -grad f方向 很小的距離內必定有S_f_x在P點(或這一個重疊區域) 離開-脫離 S_g或交於S_g,那些脫離S_g的點顯然不符合限制條件，而交於S_g的點（形成曲線）參考 1 點必然大於或小於兩面相切的點, 故切點處是局部極致（最大或最小）去的點（或者一個區域）

3. 而在這些切點處 兩函數的梯度平行 （都垂直於這點）即 grad f = lamd grad g。

拉格朗日乘子法的幾何解釋