說到這裡，可能你對scaling function以及多解析度分析已經比較理解了。但是，我們還沒有涉及到它們在小波變換中的具體應用，也就是還沒有回答剛才那個問題：憑空插了一個scaling function到小波basis組合中幹嘛。也就是說，我們希望理解scaling function是怎麼和小波函式結合的呢，多解析度能給小波變換帶來什麼樣的好處呢。這其實就是是小波變換中的核心知識。理解了這個，後面的小波變換就是純數學計算了。

好，我們已經知道，對於子空間V0，basis是scaling function：

對應的小波函式是：

然後子空間V1的basis集合是這倆哥們：

看出什麼規律了麼?多看幾次這三個圖，你會驚訝地發現，在V0中的scaling function和wavelet function的組合，其實就是V1中的basis!繼續這樣推導，V1本來的的basis是：

然後V1中對應的wavelet function是

他們的組合，本質上也就是V2的basis(參考圖2)。你繼續推導下去，會得到同樣的結論：在scale j的wavelet function，可以被用來將Vj的basis擴充套件到V(j+1)中去!這是一個非常非常關鍵的性質，因為這代表著，對任何一個子空間Vj，我們現在有兩種方法去得到它的orthonormal basis：

1. 一種就是它本來的basis

，對任意k。

2. 第二種就是它上一個子空間的basis

，對任意k，以及上一級子空間的wavelet function

，對任意k。

第二種選擇能給我們帶來額外的好處，那就是我們可以迴圈不斷地用上一級子空間的scaling function以及wavelet function的組合來作為當前子空間的基。換句話說，如果針對V3這個子空間，它實際上就有四種不同的，但是等價的orthonormal basis：

1. 本級(V3)的scaling function basis set

2. 上一級(V2)的scaling function + wavelet function;

3 . 上上一級(V1)的scaling function + 上上一級(V1)的wavelet function + 上一級(V2)的wavelet function;

4. 上上上一級(V0)的scaling function + 上上上一級(V0)的wavelet function + 上上一級(V1)的wavelet function + 上一級(V2)的wavelet function

好，看看最後一種選取方式，有沒有感到眼熟?對了，它就是我們之前提到的“針對此訊號space的哈爾小波basis組合”，參見圖1。現在我們知道了，這個scaling function不是憑空插進去的，而是通過不斷的巢狀迭代出來的：)

那為什麼我們最後選定的是這種選取方式呢?實際上，剛才介紹的這個性質已經告訴我們，對於任何的scale j0，我們都可以給我們的signal space找到一組orthonormal basis，這個basis是通過組合scale j0上的scaling function以及所有在scale j，j>j0上的wavelets得到的。這樣，基於這個orthonormal basis，所有訊號空間中的訊號都可以寫成組成這個basis的functions的線性組合：

對應的係數的計算和平常一樣：

這，就是最終的，也是最核心的，小波變換形式。不管是訊號壓縮，濾波，還是別的方式處理，只要是用小波變換，都逃不出這個基礎流程：

1. 選取合適的wavelet function和scaling function，從已有的訊號中，反算出係數c和d。

2. 對係數做對應處理

3. 從處理後的係數中重新構建訊號。

這裡的係數處理是區別你的應用的重點。比如影象或者視訊壓縮，就希望選取能將能量聚集到很小一部分系數中的小波，然後拋棄那些能量很小的小波係數，只保留少數的這些大頭係數，再反變換回去。這樣的話，影象訊號的能量並沒有怎麼丟失，影象體積卻大大減小了。

還有一個沒有解釋的問題是，為什麼要強調尺度函式和小波函式組成一個orthonormal basis呢?計算方便是一方面，還有一個原因是，如果他們滿足這個性質，就滿足瑞利能量定理，也就是說，訊號的能量，可以完全用每個頻域裡面的展開部分的能量，也就是他們的展開係數表示：

到這裡，我們對小波變換的形式就講完了。雖然是用的最簡單的哈爾小波為例子，但舉一反三即可。我們著重介紹了多解析度分析以及它給小波變換帶來的殺手鐗：時域頻域同時定位。結束之前，再多說幾句小波變換的意義。我們拿剛才例子中V3子空間的第二種可選擇的orthonormal basis作為例子：

左邊這四個basis組成元素，也就是scaling functions，的係數，表徵的是訊號的local平均(想想它們和訊號的內積形式)，而右邊的這四個basis組成元素，也就是wavelet functions，的係數則表徵了在local平均中丟失的訊號細節。得益於此，多解析度分析能夠對訊號在越來越寬的區域上取平均，等同於做低通濾波，而且，它還能保留因為平均而損失的訊號細節，等同於做高通濾波!這樣，我們終於可以解釋了wavelet function和scaling function背後的物理意義了：wavelet function等同於對訊號做高通濾波保留變化細節，而scaling function等同於對訊號做低通濾波保留平滑的shape!

對小波變換的基礎知識，我們就講到這裡。需要注意的是，這只是小波變換最基本最基本的知識，但也是最核心的知識。掌握了這些，代表你對小波變換的物理意義有了一定的瞭解。但對於小波變換本身的講解，一本書都不一定能將講透，還有很多的基礎知識我都沒有講，比如如何構建自己的scaling function，選取合適的係數集h[k]，並由此構建自己的wavelet functions。所以，如果有深入下去研究的同學，好好買一本書來看吧。而只是希望用小波變換來服務自己的應用的同學，個人覺得這些知識已經足夠讓你用來起步了。