前言：這個東西聽說好久了，一直想學但是總是看到一半就放棄了，今天咬咬牙，就去研究一下吧。

中國剩餘定理：

問題引入

在《孫子算經》中有這樣一個問題：“今有物不知其數，三三數之剩二（除以3餘2），五五數之剩三（除以5餘3），七七數之剩二（除以7餘2），問物幾何？”這個問題稱為“孫子問題”，該問題的一般解法國際上稱為“中國剩餘定理”。具體解法分三步：

1. 找出三個數：從3和5的公倍數中找出被7除餘1的最小數15，從3和7的公倍數中找出被5除餘1 的最小數21，最後從5和7的公倍數中找出除3餘1的最小數70。
2. 用15乘以2（2為最終結果除以7的餘數），用21乘以3（3為最終結果除以5的餘數），同理，用70乘以2（2為最終結果除以3的餘數），然後把三個乘積相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3. 用233除以3，5，7三個數的最小公倍數105，得到餘數23，即233%105=23。這個餘數23就是符合條件的最小數。

就這麼簡單。我們在感嘆神奇的同時不禁想知道古人是如何想到這個方法的，有什麼基本的數學依據嗎？

我們將“孫子問題”拆分成幾個簡單的小問題，從零開始，試圖揣測古人是如何推匯出這個解法的。

具體推導

首先，我們假設n1是滿足除以3餘2的一個數，比如2，5，8等等，也就是滿足3*k+2（k>=0）的一個任意數。同樣，我們假設n2是滿足除以5餘3的一個數，n3是滿足除以7餘2的一個數。

有了前面的假設，我們先從n1這個角度出發，已知n1滿足除以3餘2，能不能使得 n1+n2 的和仍然滿足除以3餘2？進而使得n1+n2+n3的和仍然滿足除以3餘2？

這就牽涉到一個最基本數學定理，如果有a%b=c,則有(a+kb)%b=c(k為非零整數)，換句話說，如果一個除法運算的餘數為c，那麼被除數與k倍的除數相加（或相減）的和（差）再與除數相除，餘數不變。這個是很好證明的。

以此定理為依據，如果n2是3的倍數，n1+n2就依然滿足除以3餘2。同理，如果n3也是3的倍數，那麼n1+n2+n3的和就滿足除以3餘2。這是從n1的角度考慮的，再從n2，n3的角度出發，我們可推匯出以下三點：

1. 為使n1+n2+n3的和滿足除以3餘2，n2和n3必須是3的倍數。
2. 為使n1+n2+n3的和滿足除以5餘3，n1和n3必須是5的倍數。
3. 為使n1+n2+n3的和滿足除以7餘2，n1和n2必須是7的倍數。

因此，為使n1+n2+n3的和作為“孫子問題”的一個最終解，需滿足：

1. n1除以3餘2，且是5和7的公倍數。
2. n2除以5餘3，且是3和7的公倍數。
3. n3除以7餘2，且是3和5的公倍數。

所以，孫子問題解法的本質是從5和7的公倍數中找一個除以3餘2的數n1，從3和7的公倍數中找一個除以5餘3的數n2，從3和5的公倍數中找一個除以7餘2的數n3，再將三個數相加得到解。在求n1，n2，n3時又用了一個小技巧，以n1為例，並非從5和7的公倍數中直接找一個除以3餘2的數，而是先找一個除以3餘1的數，再乘以2。

這裡又有一個數學公式，如果a%b=c，那麼（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是說，如果一個除法的餘數為c，那麼被除數的k倍與除數相除的餘數為kc。展開式中已證明。

最後，我們還要清楚一點，n1+n2+n3只是問題的一個解，並不是最小的解。如何得到最小解？我們只需要從中最大限度的減掉掉3，5，7的公倍數105即可。道理就是前面講過的定理“如果a%b=c,則有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最終的最小解。

總結

經過分析發現，中國剩餘定理的孫子解法並沒有什麼高深的技巧，就是以下兩個基本數學定理的靈活運用：

1. 如果 a%b=c , 則有 (a+kb)%b=c (k為非零整數)。
2. 如果 a%b=c，那麼 (a*k)%b=kc (k為大於零的整數)。

//簡單點說，中國剩餘定理就是一種同餘問題，如果實在理解不了，網上找道小學奧賽題模擬下。
//mod互質的中國剩餘定理
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=1000;
int a[maxn],m[maxn];//a為餘數陣列，m是mod的陣列
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){
            x=1,y=0;
            return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ans;
}

int china(int n)
{
    int M=1;
    int i,mi,x0,y0,d,ans=0;
    for(i=0;i<n;i++)
        M*=m[i];//m陣列存的是模，這些數字兩兩互質，所以直接相乘得出來的數字便是最小公倍數
    for(i=0;i<n;i++){
        mi=M/m[i];//根據中國剩餘定理的性質
        exgcd(mi,m[i],x0,y0);//eg:33*28*a%23=1,因為互質，所以gcd==1，所以利用擴充套件歐幾里得求出來的x0便是a
        ans=(ans+mi*x0*a[i])%M;//根據同餘的性質，最後的結果就是 餘數*mod*mi的加和
    }
    if(ans<0) ans+=M;
    return ans;
}
int main()
{

}

//有時候可能會用到lcm來求解多租借，因為你求出來的是最小解，所以你就可以通過不斷加lcm求解多組解
int lcm;
int china2(int num){//不互質的中國剩餘定理
    int m1=m[0],a1=a[0],m2,a2,k1,k2,x0,gcd,c;
    lcm=m[0];
    for(int i=1;i<num;i++){
        m2=m[i],a2=a[i];
        c=a2-a1;
        gcd=exgcd(m1,m2,k1,k2);//解得：n1*k1+n2*k2=gcd(n1,n2)
        lcm=lcm*m[i]/Gcd(lcm,m[i]);//通過這個迴圈求解出所有mod的最大公約數
        if(c%gcd){
           flag=1;//!!!!!!china也可以求解出為0的值，所以為0不一定就是無解，所以你要通過flag來判斷是否無解。
           return 0;//無解
        }
        x0=c/gcd*k1;//n1*x0+n2*(c/gcd*k2)=c  PS:k1/gcd*c錯誤！
        int t=m2/gcd;
        x0=(x0%t+t)%t;//求n1*x0+n2*y=c的x0的最小解
        a1+=m1*x0;
        m1=m2/gcd*m1;
    }
    return a1;
}