中國剩餘定理與線性同餘方程組求解
線性同餘方程組的形式
實際上一元一次線性同餘方程組,形式如下:
包含有具體數字的線性同餘方程組問題最早見於《孫子算經》(成書於約南北朝時期,因此與《孫子兵法》的孫子應該不是同一個孫子),該書也給出了該具體問題的解法。因此求解線性同餘方程組有關的定理又稱作孫子定理。但實際上《孫子算經》並未給出證明及一般性解法。最早的系統性論述應該是南宋時期秦九韶在《算術九章》中提出的“大衍求一術”。因此最後有關該問題的理論被稱作中國剩餘定理。
中國剩餘定理
如果
令
對每一個
即滿足
則原方程組的解為
線性同餘方程組的一般解法
使用中國剩餘定理理論上可以很方便的解出模數兩兩互質的方程組。對於不互質的情況可以使用下面的一般解法。
單獨的線性同餘方程求解
考慮單獨的一個線性同餘方程,已知
原方程等價於:
根據裴蜀定理,上述方程有解的充要條件是
於是很容易得到
顯然
考慮方程
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