禮物

Description

一年一度的聖誕節快要來到了。每年的聖誕節小E都會收到許多禮物，當然他也會送出許多禮物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的禮物會越多。小E從商店中購買了n件禮物，打算送給m個人，其中送給第i個人禮物數量為wi。請你幫忙計算出送禮物的方案數（兩個方案被認為是不同的，當且僅當存在某個人在這兩種方案中收到的禮物不同）。由於方案數可能會很大，你只需要輸出模P後的結果。

Input

輸入的第一行包含一個正整數P，表示模；
第二行包含兩個整整數n和m，分別表示小E從商店購買的禮物數和接受禮物的人數；
以下m行每行僅包含一個正整數wi，表示小E要送給第i個人的禮物數量。

Output

若不存在可行方案，則輸出“Impossible”，否則輸出一個整數，表示模P後的方案數。

Sample Input

100
4 2
1
2

Sample Output

12

HINT

【樣例說明】

下面是對樣例1的說明。

以“/”分割，“/”前後分別表示送給第一個人和第二個人的禮物編號。12種方案詳情如下：

1/23 1/24 1/34

2/13 2/14 2/34

3/12 3/14 3/24

4/12 4/13 4/23

【資料規模和約定】

設P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi為質數。

對於100%的資料，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

題不是很難，然而被Impossible坑了整整兩個小時

(╯‵□′)╯︵┻━┻

思路:
首先可以得出求答案的式子:
ans=(nw[1])∗(n−w[1]w[2])∗(n−w[1]−w[2]w[3])...

拆式子化簡？
確實可以拆，然而完全不需要。

考慮到模數不為質數，將模數拆成若干個質數的次冪分開計算，最後使用中國剩餘定理合併答案。
考慮到模數依舊不是質數而是質數的某個次冪，採用擴充套件lucas定理計算組合數。
那麼就做完了。無比的暴力。

唯一需要注意的一點是，記得判Impossible……

#include<bits/stdc++.h>

using
 
 namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pr;
const ll Inf=1e18;

ll p,n,m;
ll w[19];
pr ans[10009],ori[10009];

inline ll read()
{
    ll x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || '9'<ch)ch=getchar();
    while('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
    return x;
}

inline ll qpow(ll a,ll b,ll p=Inf)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ret=ret*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

inline ll phi(ll p,ll t)
{
    return (p-1)*qpow(p,t-1);
}

inline ll inv(ll a,ll p,ll t,ll k)
{
    ll phis=phi(p,t);
    return qpow(a,phis-1,k);
}

inline ll fac(ll x,ll p,ll k)
{
    if(!x)return 1;
    ll ret=1;
    for(ll i=1;i<=k;i++)
        if(i%p)
            ret=ret*i%k;
    ret=qpow(ret,x/k,k);
    for(ll i=x/k*k+1ll;i<=x;i++)
        if(i%p)
            ret=ret*i%k;
    return ret*fac(x/p,p,k)%k;
}

inline ll c(ll n,ll m,ll p,ll t)
{
    ll cnt=0,k=qpow(p,t);

    for(ll i=n;i;i=i/p)cnt+=i/p;
    for(ll i=m;i;i=i/p)cnt-=i/p;
    for(ll i=n-m;i;i=i/p)cnt-=i/p;

    ll ret=qpow(p,cnt,k)*fac(n,p,k)%k;
    ret=ret*inv(fac(m,p,k),p,t,k)%k;
    ret=ret*inv(fac(n-m,p,k),p,t,k)%k;
    return ret;
}

inline ll calc(ll p,ll t)
{
    ll ret=1,tot=n,k=qpow(p,t);
    for(int pos=1;pos<=m;pos++)
    {
        ret=ret*c(tot,w[pos],p,t)%k;
        tot-=w[pos];
    }
    return ret;
}

pr invv(ll x,ll y)
{
    if(!y)return pr(1,0);
    pr tmp=invv(y,x%y);
    return pr(tmp.second,tmp.first-x/y*tmp.second);
}

inline ll crt(pr *aa,int n)
{
    ll m=p,ret=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll x=aa[i].first,a=aa[i].second;
        ll mi=m/x,invs=(invv(mi,x).first%m+m)%m;
        ret=(ret+a*mi*invs)%m;
    }
    return ret;
}

inline ll work(ll p)
{
    int top=0;
    for(ll i=2;i*i<=p;i++)
    {
        if(p%i==0)
        {
            int cnt=0;
            while(p%i==0)
                p/=i,cnt++;
            ans[++top]=pr(qpow(i,cnt),calc(i,cnt));
        }
    }
    if(p!=1)ans[++top]=pr(p,calc(p,1));
    return crt(ans,top);
}

int main()
{
    p=read();n=read();m=read();
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        w[i]=read(),sum+=w[i];
    if(sum>n)
    {
        puts("Impossible");
        return 0;
    }
    if(n>sum)w[++m]=n-sum;
    printf("%lld\n",work(p));
    return 0;
}