Yang不等式

∀a,b≥0,p,q>0,$\mathrm{\forall }a,b\ge 0,p,q>0,$ 若 1p+1q=1,${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}=1,$ 則： ab≤app+bqq,$ab\le {\displaystyle \frac{a^p}{p}}+{\displaystyle \frac{b^q}{q}},$ 且當且僅當 ap=bq$a^p=b^q$ 時等號成立。

證明

1. 當 a=0$a=0$ 或 b=0$b=0$ 時，不等式顯然成立， 且當且僅當 a=b=0⇔ap=bq$a=b=0\iff a^p=b^q$ 時等式成立。

2. 當 a>0$a>0$ 且 b>0$b>0$ 時，令 x=ap,y=bq,λ=1p,$x=a^p,y=b^q,\lambda ={\displaystyle \frac{1}{p}},$ 則 x,y>0,λ∈(0,1),$x,y>0,\lambda \in (0,1),$ 要證明的不等式可化為：

   xλy1−λ≤λx+(1−λ)y⇔λln

   x+(1−λ)lny≤ln[λx+(1−λ)y]$x^{\lambda }{y}^{1-\lambda }\le \lambda x+(1-\lambda )y\iff \lambda \ln x+(1-\lambda )\ln y\le \ln [\lambda x+(1-\lambda )y]$
   由於： ∀x∈(0,+∞),d2dx2lnx=−1x2<0,$\mathrm{\forall }x\in (0,+\mathrm{\infty }),{\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}}\ln x=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}<0,$ 所以 lnx$\ln x$ 在定義域上是嚴格凹函式，故不等式成立， 且當且僅當 x=y⇔ap=bq$x=y\iff a^p=b^q$ 時等號成立。

Hölder不等式

∀n∈N,∀p,q>0,$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }p,q>0,$ 若 n≥1,∀i∈N,1≤i≤n,xi,yi∈R,1p+1q=1,$n\ge 1,\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},1\le i\le n,x_i,y_i\in \mathbb{R},{\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{}}$