卡方分佈（Chi-squared Distribution）

阿新 • • 發佈：2019-02-18

卡方分佈的基本描述：

　　　具有k個自由度的卡方分佈是一個由k個獨立標準正態隨機變數的和所構成的分佈。卡方分佈經常用於我們常見的卡方檢驗中。卡方檢驗一方面可以用來衡量觀測分佈和理論分佈之間的擬合程度，另一方面也可以測量定性資料兩個分類標準間的獨立性。事實上，卡方檢驗還有很多其它的作用。

　　　如果Z1，......，Zk是獨立標準正態隨機變數，那麼這些變數的平方和就呈現出了k個自由度的卡方分佈。平方和式子如下/

$Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},$

　　　通常，卡方分佈可以表示為一下形式。

$Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.$

　　　要注意的是，卡方分佈只有一個引數k，k是一個正整數，表明了分佈中自由度的數目。

　　　卡方分佈的概率密度函式如下：

$f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{(k/2-1)}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

　　　 ${\textstyle \Gamma (k/2)}$ 表示的是一個gamma函式，它是整數k的封閉形式。