群論及Polya計數定理題目入門

本文以一些簡單的題目為例，來研究一下群論及Polya計數在OI中的應用
注：本文無程式碼，僅介紹題目的思路和技巧，且難度較低，因為這些題目並不難寫，在知道思路以後相信大家都能寫出來，~~其實是因為我的程式碼寫的太醜了~~，之後還會給一些有難度的題目另開博文

codevs 2845 傳送門

置換群相關題目
劉汝佳的黑書上講得十分詳細，我這裡再簡單提一下
整個數列可以劃分為若干個互不相交的迴圈，每個大小為sizi的迴圈i都要進行sizi−1次交換，而且容易發現每個數都要至少被交換一次，所以從貪心的思路出發讓該迴圈中最小的數mini參與這sizi−1次交換，所以把所有的迴圈貢獻累加，答案就是

∑

sumi+mini×(sizi−2)
sumi表示迴圈i中所有數的總和
不過這不一定是最優解，因為還有可能是讓全域性最小值Min來參與交換，那樣的話要先把Min加入迴圈，都交換完了以後再讓Min回到原來的迴圈中
所以最終答案是
∑sumi+min(mini×(sizi−2),mini+Min×(sizi+1))

BZOJ 1025 傳送門

置換群相關題目
其實和置換關係不是特別大……
每種對應關係會讓排列形成若干個互不相交的迴圈，排數就是這些迴圈大小的最小公倍數
這樣問題就變成了“給定若干個正整數，它們的和為n，求它們可能的最小公倍數的種類數”
這問題糾結了我一會兒……後來猛然發現是個zz問題……
我們知道最小公倍數的質因子指數實際上是所有數中質因子指數的最大值，那麼對於有“相同的最小公倍數”的集合來說，數數之間兩兩互質的集合的總和更小，換句話來說，令集合中每個數都是互不相同的質數的若干次方，那麼這個集合的總和最小
然後就可以dp了，f

[i][j]表示dp到第i個質數，當前總和為j的方案數，然後暴力列舉指數就可以了
推薦記憶化搜尋

POJ2409 傳送門

Polya相關題目
裸題
不過我這裡還是詳細講一下好了
我們先看旋轉操作
在旋轉i格的情況下，會有gcd(i,n)個迴圈，迴圈長度為ngcd(i,n)
我有一個證明
考慮從一個點出發開始旋轉，至少要轉x次才能回到原點，那麼就是
xi=0(modn)
由於x要求最小，又因為i|xi,n|xi，那麼xi=lcm(i,n)=nigcd(i,n)
所以x=ngcd(i,n)
迴圈長度就是ngcd(i,n)了，迴圈個數也就顯而易見了
所以旋轉的不動點數就是∑

ni=1cgcd(i,n)
這裡範圍比較小，直接做就可以了
翻折的話分開討論下
如果n為奇數，那麼每條對稱軸的翻折就都是有(n−1)/2+1個迴圈，1個長度為1和(n-1)/2個長度為2的
如果n為偶數，那麼點點對稱軸有(n−2)/2+2個迴圈，2個長度為1和(n-2)/2個長度為2的；邊邊對稱軸有n/2個迴圈，n/2個長度為2的。
POJ1286更為簡單，顏色數是給出的

codevs2926 傳送門

Polya相關題目
也是裸題
不過這好像是我寫的第一道Polya，所以是暴力亂搞的……
一共6種置換方式，旋轉0°,120°,240°和翻折後旋轉
要寫高精加，高精乘單精和高精除單精
感覺爽翻了……

BZOJ1004 傳送門

Polya相關題目
其實是DP……
考慮用dp來統計不動點數量，這就要求在某一置換下同一迴圈內的元素必須染色相同，然後DP搞就可以了，狀態我就不說了，肯定都會……

TJU2795 傳送門

Polya相關題目
也是考慮同一迴圈內元素顏色相同
其實也是裸題……
注意一下就是統計答案時實際上是若干個元素（迴圈）排列，還要除去顏色相同的迴圈的排列（算一下階乘就好了……）
其實是多重集排列
求解過程記錄質因子及次數，然後乘起來加到答案裡就好
~~把codevs2926的高精板子搬過來正好用上~~

UVA10601 傳送門(我在vjudge上交的)

Polya相關題目
有24種置換方式
對稜中點為對稱軸旋轉180°，對面中點為對稱軸旋轉90°、180°、270°，體對角線為對稱軸旋轉120°，240°。
前兩種很好想，但我糾結了半天體對角線旋轉多少度會與本身重合，~~因為身邊沒有魔方，拿著具體數學擺弄了好久~~
其實看成正三稜錐就很容易了，因為它的底面是正三角形
剩下的就是隨便做了

POJ 2154 傳送門

Polya相關題目
做完上面的題，一眼就看出來答案是什麼了
數論優化求解

∑i=1nngcd(i,n)
let gcd(i,n)=d
=∑d=1n∑i=1n[d=gcd(i,n)]nd
let i=di
=∑d=1n[d|n]nd∑i=1nd[gcd(nd,i)=1]
=∑d=1n[d|n]ndφ(nd)
然後

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