因子分析可以看作是主成分分析的一個擴充，因子分析在數學建模中使用的沒有主成分分析那麼多。關於因子分析和主成分分析的區別可以看一下司守奎老師的“因子分析”那個章節。一開始就有介紹區別。

因子分析

1）主成分分析法：

例5 研究紐約股票市場上五種股票的週迴升率。這裡，週迴升率＝（本星期五市場收盤價－上星期五市場收盤價）/上星期五市場收盤價。從1975年1月到1976年12月，對這五種股票作了100組獨立觀測。因為隨著一般經濟狀況的變化，股票有集聚的趨勢，因此，不同股票週末回升率是彼此相關的。

相關係數矩陣：

對m=1和m=2，因子分析主成分解見下表。

對m=2，殘差矩陣為

第一個因子F1代表了一般經濟條件，稱為市場因子，所有股票在這個因子上的載

荷都比較大，且大致相等，第二個因子是化學股和石油股的一個對照，兩者分別有比較大的負、正載荷。可見F2使不同的工業部門的股票產生差異，通常稱之為工業因子。歸納起來，我們有如下結論：股票回升率由一般經濟條件、工業部門活動和各公司本身特殊活動三部分決定。

MATLAB原始碼：

clc,clear
r=[1.000 0.577 0.509 0.387 0.462
0.577 1.000 0.599 0.389 0.322
0.509 0.599 1.000 0.436 0.426
0.387 0.389 0.436 1.000 0.523
0.462 0.322 0.426 0.523 1.000];
%下面利用相關係數矩陣求主成分解，val的列為r的特徵向量，即主成分的係數
[vec,val,con]=pcacov(r);%val為r的特徵值，con為各個主成分的貢獻率
f1=repmat(sign(sum(vec)),size(vec,1),1); %構造與vec同維數的元素為±1的矩陣
vec=vec.*f1; %修改特徵向量的正負號，每個特徵向量乘以所有分量和的符號函式值
f2=repmat(sqrt(val)',size(vec,1),1);
a=vec.*f2 %構造全部因子的載荷矩陣
a1=a(:,1) %提出一個因子的載荷矩陣
tcha1=diag(r-a1*a1') %計算一個因子的特殊方差
a2=a(:,[1,2]) %提出兩個因子的載荷矩陣
tcha2=diag(r-a2*a2') %計算兩個因子的特殊方差
ccha2=r-a2*a2'-diag(tcha2) %求兩個因子時的殘差矩陣
gong=cumsum(con) %求累積貢獻率

    該MATLAB原始碼執行結果中的a為載荷矩陣。主因子方法是對主成分方法的修正。

2）主因子分析法：

例 我國上市公司贏利能力與資本結構的實證分析

已知上市公司的資料見表1。

表1 上市公司資料

MATLAB原始碼：

clc,clear
load data.txt; %把原始資料儲存在純文字檔案data.txt中
n=size(data,1);
x=data(:,1:4); y=data(:,5); %分別提出自變數x和因變數y的值
——————————————————————————————————
如果不需要檢驗，則不需要把y列入原始資料中，把矩陣x的大小改變一下，以及下文中的m，m為原始資料中變數的個數。
——————————————————————————————————
m=4;%m為變數的個數
x=zscore(x); %資料標準化
r=cov(x); %求標準化資料的協方差陣，即求相關係數矩陣
[vec,val,con]=pcacov(r); %進行主成分分析的相關計算
c=cumsum(con);
i=1;
while ((c(i)<90)&(con(i+1)>10))
    i=i+1;
end
num=i;
f1=repmat(sign(sum(vec)),size(vec,1),1);
vec=vec.*f1; %特徵向量正負號轉換
f2=repmat(sqrt(val)',size(vec,1),1);
a=vec.*f2; %求初等載荷矩陣
am=a(:,1:num); %提出num個主因子的載荷矩陣
[b,t]=rotatefactors(am,'method', 'varimax'); %旋轉變換,b為旋轉後的載荷陣
bt=[b,a(:,num+1:end)]; %旋轉後全部因子的載荷矩陣
contr=sum(bt.^2); %計算因子貢獻
rate=contr(1:num)/sum(contr); %計算因子貢獻率
fprintf('綜合因子得分公式：F=');
for i=1:num
    fprintf('+%f*F%d',rate(i),i);
end
fprintf('\n');
coef=inv(r)*b; %計算得分函式的係數
coef=coef';
for i=1:num
    fprintf('各個因子得分函式為F%d=',i);
    for j=1:m
        fprintf('+(%f)*x_%d',coef(i,j),j);
    end
    fprintf('\n');
end
%如果僅僅因子分析，程式到此為止
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
score=x*coef';%計算各個因子的得分
weight=rate/sum(rate); %計算得分的權重
Tscore=score*weight'; %對各因子的得分進行加權求和，即求各企業綜合得分
[STscore,ind]=sort(Tscore,'descend'); %對企業進行排序
display=[score(ind,:)';STscore';ind']; %顯示排序結果
fprintf('排序結果如下：');
for i=1:num
    fprintf('第%d行為F%d得分,',i,i);
end
fprintf('第%d行為綜合因子得分，第%d為原序列\n',num+1,num+2);
disp(display);
[ccoef,p]=corrcoef([Tscore,y]); %計算F與資產負債的相關係數
[d,dt,e,et,stats]=regress(Tscore,[ones(n,1),y]);%計算F與資產負債的方程
fprintf('因子分析法的迴歸方程為：F=%f+(%f*y)',d(1),d(2));
if (stats(3)<0.05)%判斷是否通過顯著性檢驗的結果
    fprintf('\n在顯著性水平0.05的情況下，通過了假設檢驗。\n');
else
    fprintf('\n在顯著性水平0.05的情況下，通不過假設檢驗。\n');
end該MATLAB原始碼的displsy為最終排序結果。

本題用SPSS求解（因子分析中的主成分分析法）：

1.把原始資料輸入SPSS中，如圖：

2.依次點選“分析”→“降維”→“因子”，如圖：

3.在“因子分析”對話方塊中，把X1、X2、X3、X4移入“變數”中，如圖：

4.單擊“描述”，出現“因子分析：描述”對話方塊；在“統計”欄中，勾選“初始解”；在“相關性矩陣”欄中，勾選“顯著性水平”，如圖，單擊“繼續”。

5.單擊“提取”，出現“因子分析：提取”對話方塊，在“方法”中，選擇“主成分”；在“分析”中，選擇“相關性矩陣”；在“輸出”中，勾選“未旋轉因子解”；在“提取”中，選擇“基於特徵值”，並設定特徵值大於“1”，如圖，單擊“繼續”。

6.單擊“選擇”，在“因子分析：旋轉”對話方塊中的選項預設即可，如圖，單擊“繼續”。

7.單擊“得分”，在“因子分析：因子得分”對話方塊中，勾選“儲存為變數”；在“方法”中，選擇“迴歸”；並勾選“顯示因子得分系數矩陣”，如圖，單擊“繼續”。

8.單擊“選項”，在“因子分析：選項”對話方塊中的選項預設即可，如圖，單擊“繼續”。

9.在“因子分析”對話方塊中，單擊“確定”，如圖。

綜合因子分析得分公式為：

各個因子得分函式：