數學建模——預測模型簡介
在數學建模中,常常會涉及一些預測類問題。預測方法種類繁多,從經典的單耗法、彈性系數法、統計分析法,到現在的灰色預測法、專家系統法和模糊數學法、甚至剛剛興起的神經元網絡法、優選組合法和小波分析法等200余種算法。下面將簡要介紹幾類預測方法:微分方程模型、灰色預測模型、差分方程預測、馬爾可夫預測、插值與擬合、神經元網絡。
一、下面是這幾種類型的使用場景對比:
模型方法 |
適用場景 |
優點 |
缺點 |
微分方程模型 |
因果預測模型,大多為物理、幾何方面的典型問題,其基本規律隨著時間的增長呈指數增長,根據變量個數確定微分方程模型。 |
適用於短、中、長期的預測,既能反映內部規律以及事物的內在關系,也嫩能夠分析兩個因素之間的相關關系,精度高便與改進。 |
由於反映的內部規律,方程建立與局部規律的獨立性為假定基礎,長期預測的偏差性較大。 |
灰色預測模型 |
該模型不是使用原始數據,而是通過求累加、累減、均值中的兩種或者全部方法生成的序列進行建模的方法。 |
不需要大量數據,一般四個數據即可,能夠解決歷史數據少、序列完整性及可靠性低的問題。 |
只適用於指數增長的中短期預測。 |
差分方程預測 |
常根據統計數據選用最小二乘法擬合出差分方程的系數,其穩定性依賴於代數方程的求根。 |
差分方程代替微分方程描述,在方程中避免了導函數,可以用叠代的方式求解。 |
精度較低(用割線代替切線。) |
馬爾可夫預測 |
某一系統在已知情況下,系統未來時刻的情況只與現在時刻有關,與歷史數據無關的情況。 |
對過程的狀態預測效果良好,可考慮用於生產現場危險狀態的預測。 |
不適宜於中長期預測。 |
插值與擬合 |
適用於物體軌跡圖像的模型。例如,導彈的運動軌跡測量的預測分析。 |
分為曲線擬合和曲面擬合,通過找到一個函數使得擬合原來的曲線,這個擬合程度可以用一個指標來進行判斷。 |
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神經元網絡 |
在控制與優化、預測與管理、模式識別與圖像處理、通信等方面有十分廣泛的應用。 |
多層前向BP網絡適用於求解內部機制復雜的問題,有一定的推廣、概括能力。 |
多層前向BP網絡學習速度較慢,訓練失敗的可能性較大。 |
時間序列 |
根據客觀事物的連續性規律,運用歷史數據,經過統計分析推測市場未來的發展趨勢。 |
經濟類問題中,生長曲線、指數平滑法均對短期波動把握不高,AR自回歸模型可以既考慮經濟現象在時間序列上的依存性,又考慮隨機波動的幹擾性。 |
經濟類問題,從長期看具有一定的規律,而短期可能受到宏觀調控、市場現時期的需求供應變化使得預測困難。 |
二、算法的細致講解,訪問鏈接:
1.灰色預測模型
數學建模——預測模型簡介